Почему мы используем собственные значения для представления наблюдаемых значений в квантовой механике?

Один из постулатов квантовой механики состоит в том, что каждой наблюдаемой А соответствует линейный эрмитов оператор А^, и когда мы измеряем наблюдаемую А, в результате мы получаем собственное значение А^.

По духу да. По техническим причинам это не совсем так. Как упоминал Слереа в комментариях, более точное утверждение состоит в том, что измерение$A$возвращает значения, лежащие в спектре$\hat A$. Если спектр$\hat A$является чисто непрерывным, как и в случае наблюдаемого положения частицы на прямой, то$\hat A$на самом деле не имеет собственных значений, потому что нет состояний$\psi$в гильбертовом пространстве такое, что$\hat A \psi = \lambda \psi$для некоторого комплексного числа$\lambda$.

Это создает технические трудности, но вывод, относящийся к данному обсуждению, состоит в том, что для каждого наблюдаемого$A$, соответствует самосопряженный оператор$\hat A$, и когда мы измеряем наблюдаемую$A$получаем результат, лежащий в спектре$\hat A$.

Это может быть мотивировано несколькими способами, но мой любимый следующий. Обратите внимание, что это не был исторический путь к квантовой механике, полный поворотов и тупиков.

Если мы посмотрим на классическую физику через призму гамильтоновой механики, мы можем определить наблюдаемую как непрерывную функцию от переменных фазового пространства (обобщенные координаты и импульсы) до действительных чисел. При некоторых чрезвычайно мягких дополнительных предположениях, таких как связность фазового пространства, это сразу же означает, что возможные результаты измерений принимают форму связанных интервалов в$\mathbb R$. Например, возможные положения точки на бесконечной прямой задаются выражением$\mathbb R$, возможных кинетических энергий такой частицы есть интервал$[0,\infty)$, а возможные координаты z для частицы, прикрепленной к единичной сфере, равны$[-1,1]$.

Результаты эксперимента Штерна-Герлаха (в котором возможные z-компоненты спинового углового момента равны$\{\frac{\hbar}{2},-\frac{\hbar}{2}\}$) и спектры излучения водорода (в которых возможная энергия связанного состояния составляет дискретный набор$\{-\frac{13.6\text{ eV}}{n^2}\}$) сразу бросаются в глаза этому результату. Теперь мы также понимаем, что, например, энергетические спектры твердых тел лежат в несвязанных полосах, что опять-таки несовместимо с предыдущей линией рассуждений.

Не существует четкого способа модифицировать гамильтонову механику для учета этих возможностей, поэтому мы заинтересованы в поиске совершенно другой системы, которая может это сделать. Как оказалось, спектральная теория линейных операторов в гильбертовых пространствах обладает именно той гибкостью, которая нам нужна. Общий оператор$\hat A$на гильбертовом пространстве имеет$\sigma(\hat A)\subseteq \mathbb C$, поэтому в контексте наблюдаемых величин разумно спросить, какие операторы имеют спектры, полностью лежащие в$\mathbb R$; ответ таков$\sigma(\hat A)\subseteq \mathbb R \iff \hat A$является самосопряженным$^\dagger$.

В результате мы говорим, что нашей системе мы сопоставляем гильбертово пространство, которое заменяет фазовое пространство из классической физики и элементы которого (грубо) составляют пространство возможных состояний системы. Наблюдаемые величины теперь представлены самосопряженными операторами, а их спектры соответствуют возможным результатам измерений.

Общий элемент конечномерного гильбертова пространства можно разложить в линейную комбинацию собственных векторов любого самосопряженного оператора, который вы пожелаете. Если$\hat A$имеет$\lambda$как собственное значение, то не кажется неразумным предположить, что соответствующее собственное состояние является тем, для которого измерение$A$возвращается точно$\lambda$. Ситуация усложняется, когда спектр оператора непрерывен, но суть рассуждения остается прежней.

Конечно, ничто из этого не является математическим доказательством того, что мы делаем правильный выбор — на самом деле такого доказательства просто не может быть. Все, что мы можем сделать, это объединить эти идеи в согласованную структуру, сделать прогнозы и сравнить их с экспериментом. Как оказалось, именно этот рецепт пользуется огромным успехом, хотя это не исключает возможности того, что когда-нибудь его заменят чем-то лучшим.

$^\dagger$Это не совсем так — см. здесь обобщение. Однако это хорошая отправная точка для стандартной формулировки QM, которую затем можно расширить.

Эксперимент Штерна-Герлаха и подобные эксперименты показывают

• Система имеет состояние.
• Состояния системы образуют гильбертово пространство. Вы можете выбрать набор базовых состояний и представить текущее состояние системы как сумму этих базовых состояний. Например, для спина электрона ваш выбор вверх/вниз, влево/вправо или состояния под другим углом.
• Измерение — это физическое взаимодействие, которое изменяет состояние системы и дает измеренное значение. Как правило, измеренное значение является вероятностным, даже если состояние известно. Например, состояние вращения влево в измерении вращения вверх/вниз дает результаты вращения вверх и вниз с равной вероятностью.
• Измерение изменяет состояние на состояние, соответствующее измеренному значению. Например, если измерение скорости вращения вверх/вниз дает результат увеличения скорости вращения, система находится в состоянии увеличения скорости вращения. Другое измерение также даст значение увеличения скорости вращения.

Измерения переводят одно состояние в гильбертовом пространстве в другое. Именно это и делают операторы в гильбертовом пространстве.

Измерение оставляет некоторые состояния неизменными и дает предсказуемое значение. Некоторые операторы оставляют состояния неизменными. Эти состояния называются собственными состояниями оператора.

Очень похожий оператор переводит состояние в скалярное число, кратное самому себе. Этот оператор может представлять как влияние измерения на состояние системы, так и измеренное значение. Скалярное кратное/измеренное значение называется собственным значением оператора. Это дает нам$\hat{A} \left|a\right> = \lambda \left|a\right>$

Измеренные значения являются реальными. Собственное значение действительно, когда оператор является самосопряженным.

Величина$\left|a\right>$не важно для нас, поэтому мы можем потребовать, чтобы$\left<a|a\right> = 1$для всех штатов. Эта нормализация хорошо работает, когда мы работаем с базисными состояниями и вероятностями.

Утверждая, что наблюдаемое$A$представляется оператором, который имеет определенные собственные значения, вы утверждаете, что единственный возможный результат измерения$A$это собственные значения. После того, как вы измерили систему и убедились, что результатом является некоторое собственное значение$a_n$то вы также уверены, что система находится в состоянии, которое приписывается собственному значению$a_n$, следовательно, конкретное собственное состояние. Например, вы можете попытаться измерить, находится ли частица в ящике в левой или правой части ящика. Это измерение описывается оператором, который имеет только два собственных значения и два собственных состояния, потому что искомые результаты — это только два различных результата.

Постулат измерения квантовой механики можно сформулировать следующим образом:

Измерение наблюдаемых$A$моделируется как вероятностный процесс: с вероятностью$p_i$это даст результат$a_i$(собственное значение$A$) при выбросе состояния из$|\Psi\rangle$(нормализованный вектор) в$|a_i\rangle$(нормализованный собственный вектор$\hat{A}$). Вероятности определяются$p_i=|\langle a_i|\Psi\rangle|^2$.

Измерение должно соответствовать следующему физическому требованию.

Когда измерение наблюдаемого$A$на состояние дало результат$a_i$, то повторение измерения немедленно снова даст тот же результат$a_i$снова. Это базовое требование для любого измерения (иначе мы бы даже не назвали его измерением). Бесчисленные эксперименты (первыми были опыты Штерна-Герлаха) подтвердили это требование.

Постулат сверху мотивирован тем, что он удовлетворяет этому требованию:

Когда вы измеряете$A$о состоянии

В физике не имеет особого смысла спрашивать, почему природа такова, какая она есть. Если ваш вопрос, по существу, состоит в том, почему числовой результат измерения должен быть собственным значением (или, точнее, как сказал Слереа, элементом спектра) оператора, то единственным допустимым ответом будет «потому что это то, что делает точным предсказания».

Я думаю, что лучшим примером для мотивации ученика является вращение.

Частицы, приготовленные таким образом, что их спины составляют +1/2 в заданном лабораторном направлении z, при измерении с помощью прибора, произвольно наклоненного относительно подготовленной ориентации, имеют спины иногда +1/2, а иногда -1/2.

Но ожидаемое значение среднего большого числа измерений может быть вычислено с помощью собственных векторов$|S\rangle$матрицы, полученной в результате линейной комбинации матрицы Паули:$\sigma_k = n_x\sigma_x + n_y\sigma_y + n_z\sigma_z$, где$n_i$являются компонентами единичного вектора новой ориентации.

По крайней мере, когда эта математическая процедура была разработана, она соответствовала только эмпирическим данным. Матрицы, полученные в результате линейной комбинации, всегда имеют одни и те же 2 собственных значения.

Возможно, вы захотите взглянуть на идеи квантового дарвинизма . Я не уверен, насколько популярны эти мысли, так что решайте сами.

Насколько я понимаю, там делается попытка объяснить, почему измеряются те или иные состояния, исходя из того, насколько они "стабильны" по сравнению с другими состояниями при взаимодействии с измерительным устройством и окружающей средой.