Собственные значения квантового поля?

Если я попытаюсь измерить поле в одной точке пространства-времени, я должен получить реальное значение, которое должно быть собственным значением квантового поля, верно? Я так понимаю, собственные векторы квантового поля тоже живут в фоковском пространстве?

Да, в принципе правильно. Если значение поля в точке наблюдаемо, собственные значения оператора, представляющего его, являются значениями, которые поле может достичь в этой точке. А собственные векторы живут в гильбертовом пространстве состояний, которое можно представить (по крайней мере концептуально) как$L^2(\{\mbox{initial boundary conditions}\})$. Это гильбертово пространство является пространством Фока в теориях свободного поля.

Стоит упомянуть пару тонкостей:

Значение поля в точке может не быть физической наблюдаемой. В электродинамике, например, вы не можете измерить значение$A_\mu(x)$компонента соединения 1-формы; вместо этого вы можете измерить калибровочно-инвариантные величины, такие как кривизна$F_A(x)$и голономия$Hol_L(A)$по петле$L$. Точно так же в нелинейных сигма-моделях, где классические поля являются картами$\phi: \Sigma \to X$к какому-то изогнутому многообразию, вы не можете измерить значение$\phi(x)$. Собственные значения — это комплексные числа, а не точки на многообразии. Но вы получаете реальную наблюдаемую$\mathcal{O}_f(x)$для каждой функции$f: X \to \mathbb{R}$; измерить стоимость$f(\phi(x))$.

Также не совсем правильно говорить, что квантовые поля являются операторными функциями в пространстве-времени. Физическая проблема заключается в том, что если вы измерите значение поля в одной точке, вы нарушите поле вблизи этой точки, что повлияет на значения в других близлежащих точках. Чем ближе вы смотрите к месту, где производили измерение, тем больше возмущение; даже в теории свободных скалярных полей двухточечная корреляционная функция$\langle \phi(x) \phi(y) \rangle$взрывается как$x \to y$. Это говорит вам, что поля не совсем функции, потому что вы не можете умножить наблюдаемые «значение в точке», когда они находятся в точной точке.

Математически правильно было бы думать о поле (и, в более общем смысле, о локальных наблюдаемых, построенных из полей) как об операторно-значном распределении. Распределения — это мягкое обобщение функций; это объекты, которые не имеют значений в точке, но имеют средние значения в произвольно малой (но конечной) области. В принципе, для любой тестовой функции$f$в вашем пространстве-времени вы получаете оператора$\phi(f)$который вы можете рассматривать как измерение значения "$\int f(x) \phi(x) dx$" из$\phi$проба зондом с разрешением$f$. Распределения могут быть умножены только тогда, когда их особенности не совпадают; они демонстрируют то же неприятное поведение, что и операторы квантового поля.

Вероятно, вам не нужно слишком беспокоиться об этом. Во-первых, даже если вы не можете (строго говоря) определить оператор$\phi(x)$, можно еще смело говорить о корреляционной функции$\langle \phi(x)\phi(y)\rangle$. (Это функция ядра мультилинейной карты$(f,g)\mapsto \langle \phi(f)\phi(g) \rangle$.)

Физики не тратят много времени на решение проблемы собственных значений для операторов поля. Обычно весь спектр$\mathbb{R}$, и поиск собственных векторов не стоит труда. Однако есть одно важное исключение: в Стандартной модели очень важно, чтобы вектор вакуума был собственным вектором операторов поля Хиггса с ненулевым собственным значением.

Собственные векторы квантового поля — это состояния с определенным значением поля:

$$\hat{\phi}(x) \left| \Phi \right> = \phi(x) \left| \Phi \right>$$

Это не состояния с определенным числом частиц, т. е. суперпозиции состояний фоковского пространства с разным числом частиц. Самый простой способ увидеть это — записать оператор поля в терминах операторов создания и уничтожения (схематично):

$$\hat{\phi}(x) \sim \sum_k a_k + a^\dagger_k$$

и обратите внимание, что это не коммутирует с оператором числа частиц$\hat{N} = \sum_k a^\dagger_k a_k$:

$$\left[ \hat{N}, \hat{\phi}(x) \right] \neq 0$$

Поэтому у вас не может быть состояния, которое одновременно является состоянием с определенным значением поля и состоянием с определенным числом частиц.