Собственные пространства оператора углового момента и его квадрата (оператор Казимира)

ОП по существу размышляет, является ли коммутативность транзитивным отношением , т.е. если три нормальных оператора$^{1}$ $A$,$B$, и$C$удовлетворяет

Ответ - нет, но OP утверждает, что существует общая база собственных векторов для двух коммутирующих нормальных операторов, которые экв. (Т) должен держаться.

Чтобы наиболее четко выявить недостаток аргумента OP, выберите$B$быть пропорциональным тождеству. Затем$B$ездит со всем. Ясно, что тогда мы можем найти два некоммутирующих нормальных оператора$A$и$C$, так что ур. (Т) нарушен! И базис собственных векторов для$A$не может быть базисом собственных векторов для$C$, и наоборот.

--

$^{1}$В этом ответе мы будем игнорировать тонкости с неограниченными операторами , доменами, самосопряженными расширениями и т.д.

Два оператора могут быть одновременно диагонализированы тогда и только тогда, когда они коммутируют.

Как вы видете,$L_z$не коммутирует ни с$L_x$ни с$L_y$– и ни с какими другими линейными комбинациями, отличными от кратных$L_z$– так что нет никакого способа диагонализовать два разных компонента$L_i$совсем.

Однако,$L_z$(и аналогичным образом другие компоненты) коммутирует с$L^2$, так$L_z$и$L^2$могут быть одновременно диагонализированы.

Это означает, что какое бы основание вы ни имели и$L_z,L^2$выраженной по этому базису, можно найти матрицу$U$в гильбертовом пространстве такое, что оба$UL^2 U^{-1}$а также$U L_z U^{-1}$являются диагональными матрицами. Никакие другие компоненты и т.п. не могут быть добавлены. Мы говорим, что$L^2,L_z$образуют «полный набор коммутирующих наблюдаемых», описывающих угловую часть волновой функции одной частицы (или весь внутренний угловой момент, спиновые степени свободы любой частицы).

Вы достигаете чего-то вроде «парадокса», обсуждая собственные пространства. Проблема с вашими рассуждениями заключается в том, что собственные пространства в большинстве случаев многомерны, но они не являются подпространствами друг друга.

$L^2$имеет разные собственные значения$\ell(\ell+1)\hbar^2$для$\ell=0,1,2,3,\dots$Также для общего «спина» возможны полуцелые значения.

Но если вы рассматриваете полное гильбертово пространство, собственное пространство, соответствующее собственному значению с$\ell$не является одномерным. Вместо этого, по крайней мере$(2\ell+1)$-размерный. Он именно такой размерности, если нет других степеней свободы. Если есть другие степени свободы, размерность собственного пространства кратна$(2\ell+1)$.

С другой стороны, собственное пространство$L_z$связано с собственными значениями этого оператора,$m$. Вы можете получить собственное значение$L_z=m$для$\ell = |m|$но вы также можете получить его за$\ell=|m|+1$,$|m|+2$, или любое другое число больше$|m|$положительным целым числом. Таким образом, собственное пространство$L_z$является линейной оболочкой объединения одномерных подпространств собственных пространств$L^2$.

Собственное пространство$L_x$соответствующее собственному значению$m$выбирает из них разные одномерные подпространства. Их базисные векторы не параллельны и не ортогональны тем, которые связаны с$L_z$. Аналогично для$L_y$.

Многомерное собственное пространство$L^2$с собственным значением$\ell(\ell+1)\hbar^2$и многомерное собственное пространство$L_z$с собственным значением$m$иметь пересечение - в простейшем случае волновых функций на сфере, одномерное пересечение - которое соответствует всем состояниям с собственными значениями, заданными квантовыми числами$(\ell,m)$.

Собственные пространства квадратичного Казимира$L^2 = L_x^2+L_y^2+L_z^2$алгебры Ли бесконечно малых вращений$\mathfrak{so}(3)$являются в точности неприводимыми представлениями$\mathfrak{so}(3)$- мы обычно маркируем представление его наибольшим весом$l$, что в данном случае является просто числом, говорящим вам, какое наибольшее возможное значение для любого из$L_i$является. Представления, помеченные$l$иметь измерение$2l+1$, и все векторы одного и того же неприводимого представления имеют$l(l+1)$как собственное значение$L^2$, так$L^2$имеет вырожденные собственные пространства (как и должно быть, поскольку оно коммутирует с каждым элементом алгебры Ли, поэтому оно должно быть кратно единице на неприводимых комплексных представлениях по лемме Шура ).

Мы можем получить невырожденные метки для состояний, выбрав любое из трех направлений (обычно$L_z$) и помечая состояния с помощью$l$дополнительно по собственному значению$m_l$для$L_z$. Теперь каждое собственное пространство с собственным значением$l(l+1)$для$L^2$охватывает$2l+1$состояния с собственными значениями$-l,-l+1,\dots,l-1,l$для$L_z$. Операторы$L_y$и$L_x$также может снять это вырождение, но поскольку$L_i$не коммутируют друг с другом, их собственные векторы представляют собой другой выбор базиса для собственных пространств.

Что касается атомных орбиталей,$l$обычно называется азимутальным квантовым числом и$m_l$называется магнитным квантовым числом .

The $L_i$имеет много собственных пространств, соответствующих многим собственным значениям. Каждое из этих собственных пространств также является собственным пространством оператора Казимира.

Таким образом, они имеют общие собственные пространства в том смысле, что существуют собственные пространства, которые являются собственными для обоих. Но они не разделяют их в том смысле, что они одинаковы.

Посмотрите на атом водорода. Существуют собственные энергетические пространства и собственные пространства Казимира. Собственное пространство Казимира собственного значения$0$содержит векторы всех возможных энергий. И собственный вектор энергии с собственным значением$E$c содержит векторы множества различных угловых моментов. Но есть общие собственные векторы, которые имеют фиксированное собственное значение Казимира и фиксированную энергию.

Существуют общие собственные векторы для коммутирующих операторов, но это не означает, что случайный собственный вектор одного является собственным вектором другого.

Когда я задавал этот вопрос, я не понимал связи между коммутативностью двух операторов и их собственными пространствами:

Если оператор$A$коммутирует с другим оператором$B$, затем$A$покидает собственные пространства$B$инвариант:

Но это не означает, что$\psi$является собственным состоянием$A$.

Возможно, я перепутал «оставить собственные пространства B неизменными» за «собственные векторы B являются собственными векторами A» .