Как математически вывести, что угловой момент ограничен?

Вы можете доказать это так. Применять$J_+$n раз к собственному набору$\mathbf{J}^2$и$J_z$. Таким образом, вы получаете еще один собственный набор$\mathrm{J}^2$и$J_z$где собственное значение$\mathbf{J}^2$неизменен и$J_z$собственное значение увеличивается на$n\hbar$. Как вы увидите, вы не можете повторять эту операцию бесконечно, и существует верхний предел$\beta$,$J_z$собственное значение, для заданного собственного значения$\alpha$из$\mathbf{J}^2$. Так что это дает вам$\alpha\geq\beta$. Чтобы увидеть это, вы делаете следующее

$\mathbf{J}^2$-$J_{z}^2$"="$\frac{1}{2}(J_+J_-+J_-J_+)=\frac{1}{2}(J_+J_{+}^{\dagger}+J_{+}^{\dagger}J_+)$

Из этого$J_+J_{+}^{\dagger}$и$J_{+}^{\dagger}J_+$должны иметь неотрицательные математические ожидания. Это приводит нас к

$\langle\alpha,\beta|(\mathbf{J}^2$-$J_{z}^2)|\alpha,\beta\rangle\geq0$

Таким образом, должно существовать$\beta_{max}$ул.$J_+|\alpha,\beta_{max}\rangle=0$. Это означает, что$J_-J_+|\alpha,\beta_{max}\rangle=0$. Однако вы можете переписать$J_-J_+=\mathbf{J}^2-J_{z}^2-\hbar J_z$. Применив это к$|\alpha,\beta_{max}\rangle$вы получаете следующее соотношение для собственных значений$\alpha=\beta_{max}(\beta_{max}+\hbar)$. Аналогичным образом можно доказать, что должно существовать и$b_{min}$ул.$J_-=|\alpha,\beta_{min}\rangle=0$. По тем же шагам вы найдете$\alpha=\beta_{min}(\beta_{min}-\hbar)$. Сравнивая два равенства для собственных значений, вы находите, что$\beta_{max}=-\beta_{min}$. Итак, применяя$J_+$к$|\alpha,\beta_{min}\rangle$конечное число раз мы должны найти$|\alpha,\beta_{max}\rangle$. Это приводит вас к$\beta_{max}=\beta_{min}+n\hbar=\frac{n\hbar}{2}$

Здесь мы определяем$j$как$\frac{\beta_{max}}{\hbar}$ул.$j=\frac{n}{2}$и определить$m$как$\beta=m\hbar$. Из этого вы видите$m$значения для данного$j$;$m=-j,-j+1,\dots,j-1,j$(количество$2j+1$состояния).