Формализм и представление в квантовой механике

Мне просто любопытен формализм базовой квантовой механики. Возьмем, к примеру, систему спин- 1 2 частица. Состояние частицы описывается вектором в абстрактном гильбертовом пространстве, которое является двумерным (скажем, ЧАС ). Множество эндоморфизмов на ЧАС сформировать группу (которая, я надеюсь, станет С U ( 2 ) группа). Теперь я просто определю абстрактную эндоморфную карту в ЧАС , такой, что

о ^ г : | + ⟩ → | + ⟩ | | | − ⟩ → − | − ⟩
где | + ⟩ , | − ⟩ е ЧАС

Ясно, что оператор о ^ г является эрмитовым, а собственные векторы ортонормированы и, следовательно, могут быть выбраны в качестве базисного набора. Следовательно, любой произвольный вектор можно разложить по этому поводу.

| ψ ⟩ "=" с + | + ⟩ + с − | − ⟩     ж час е р е     С ∋ с ± "=" ⟨ ± | ψ ⟩
Теперь из того, что я узнал до сих пор, я вроде как вижу, что могу построить карту под названием «Представление». р такие все элементы для ЧАС сопоставляется с С 2

р : ЧАС → С 2 | р ( | ψ ⟩ ) "=" ( с + с − )

Я также считаю, что эта карта представления сохраняет внутренний продукт. Например,

⟨ ф | ψ ⟩ → ( г + г − ) ( с + с − ) е С

Кроме того, операторы также могут быть отображены этой картой представления, где абстрактные операторы отображаются в квадратные матрицы.

р : Конец ( ЧАС ) → Конец ( С 2 ) | р ( А ^ ) "=" ( ⟨ + | А ^ | + ⟩ ⟨ + | А ^ | − ⟩ ⟨ − | А ^ | + ⟩ ⟨ − | А ^ | − ⟩ )

С этой настройкой матрицы Паули и двумерная нерепрезентация вектора соответствуют этой карте. р верно ? Таким образом, все эти вещи соответствуют представлению, построенному с использованием собственных векторов о г ?

Я также хотел бы знать, как можно установить такого рода связь в случаях позиционного базиса, особенно между | Икс ⟩ и л 2 пространства.

PS: я знаю, что этот вопрос наименее полезен для любого конкретного исследовательского сообщества или даже для людей, которые учатся, но это просто из моего любопытства. Простите меня, если это очень смешной вопрос.

Ответы (1)

Для связи между базисом абстрактной позиции и л 2 пробелы, я отсылаю вас к моему ответу здесь (прочитайте и другие ответы, они хороши;))

Вы довольно близки со своим пониманием представлений, но не совсем там:

Прежде всего, для 2-мерного спин- 1 2 гильбертово пространство ЧАС ↑↓ , множество эндоморфизмов Е н г ( ЧАС ↑↓ ) не является С U ( 2 ) , но все двумерные матрицы, т.е. С 2 × 2 . Это связано с тем, что каждое конечномерное гильбертово пространство размерности н является прежде всего комплексным векторным пространством, и все они изоморфны С н .

Теперь представление данной группы г на любом пространстве В просто гомоморфизм р : г → А ты т ( В ) . Так как мы имеем включение С U ( 2 ) ⊂ С 2 × 2 , космос ЧАС ↑↓ поставляется с изображением С U ( 2 ) . С С U ( 2 ) является группой Ли , у нее есть образующие, лежащие в ее алгебре Ли, и каждое представление р группы Ли индуцирует представление г р : л я е А л г ( г ) → Е н г ( В ) алгебры (и наоборот, с некоторыми оговорками).

[Группы Ли — удивительные вещи, очень важные для теоретической физики, особенно для понимания симметрии. Я советую вам попытаться узнать о них больше, чем я скажу здесь.]

Три генератора С U ( 2 ) канонически обозначаются о Икс , о у , о г . Теперь вы можете выбрать собственные векторы (например) г р ( о г ) на ЧАС ↑↓ и используйте их в качестве основы. Если вы называете эти собственные векторы | ± ⟩ (не случайно собственные значения о Икс , у , г в фундаментальном представлении (именно это и есть) являются + 1 и − 1 ), вы определили ту же основу, что и в вашем ОП.

Конечно, в этом конкретном примере, где целевое пространство ЧАС ↑↓ просто изоморфен С 2 , пространство, на котором С U ( 2 ) изначально определяется, г р и р являются просто тождественными (точнее: включенными) картами.

Теперь все остальное, что вы назвали представлением в своем вопросе, является просто «обычной» сменой базиса, вот что значит выбрать собственные векторы о г как новый базис векторного пространства С 2 .

Не стесняйтесь обращаться за разъяснениями/дополнениями, если я упустил суть вашего вопроса или вы что-то не поняли.

Вы совершенно правы насчет группы. SU(2) — это просто подмножество, сохраняющее норму при преобразовании. Виноват ! Спасибо
@ user35952: Правильно. Хотя обратите внимание, что U ( 2 ) была бы полная группа преобразований, сохраняющих норму, но мы не хотим этого для наших спиноров, поскольку она включает в себя «отражения», а также «повороты», в то время как С U ( 2 ) имеет только «повороты» (он также сохраняет ориентацию ). (Кроме того, он имеет более приятные свойства)
Смена основы в пространстве С 2 отличается. Я говорю о том, что если мы выбрали базисные векторы о Икс , сами матрицы Паули изменятся. Таким образом, матрицы Паули в основном являются операторами, только если мы строим карту представления, используя базисные векторы о г верно ?
Если вы перейдете к собственному базису матрицы, эта матрица будет иметь диагональную форму в этом базисе, поэтому матрицы Паули изменятся , если вы измените базис. «Каноническая» форма матриц Паули соответствует некоторому заранее выбранному базису матрицы. С 2 в вопросе, а затем принимая карту включения в качестве представления. Если выбрать другую основу С 2 заранее вы получите внешне другое, но изоморфное представление.
Формализм и представление в квантовой механике
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v