Почему мы предполагаем, что потенциал не зависит от времени в уравнении Шрёдингера?

Почти в каждом тексте, который я читал (онлайн или на бумаге), когда они обрабатывают зависящее от времени уравнение Шредингера, я вижу что-то вроде «мы всегда предполагаем, что потенциал не зависит от времени». Почему это? Разве не бывает много обстоятельств, когда это недействительно? Разве большинство экспериментов не проводится с переменными потенциалами (например, ЯМР, магнитное поле, влияющее на потенциал, меняется во времени)? Это предположение сделано в учебниках только из педагогических соображений, чтобы облегчить жизнь?

Если мы не делаем этого предположения, то мне кажется, что уравнение Шредингера больше не является сепарабельным, и мы больше не можем просто применять оператор эволюции во времени, как это обычно делается (и уравнение, не зависящее от времени, больше не действует) .

Возможно, это касается основного вопроса, но: Кроме того, если мы хотим решить его численно, мне кажется, мы также не можем упростить, используя преобразование Фурье с разделенным шагом или в форму, обрабатываемую Рунге-Кутта. Это верно? Меня особенно интересует численный анализ, но я думаю, что должен опубликовать этот вопрос в SE для научных вычислений.

Конечно, когда я говорю «потенциал», я имею в виду В ( р → , т ) в уравнении

я ℏ ∂ ∂ т Ψ ( р → , т ) "=" [ − ℏ 2 2 м ∇ 2 + В ( р → , т ) ] Ψ ( р → , т )
и предположение, обоснование которого я не понимаю, В ( р → , т ) "=" В ( р → ) .

Из любопытства, что означает «касательно другого вопроса»? Это просто причудливый способ сказать, что это связано, или это означает, что связь между двумя вопросами специфична, и если да, то как?
Я просто имею в виду, что вопрос о численном анализе относится к моему основному вопросу поверхностно. Я хотел задать его, но я не уверен, что это правильное место — хотя я ожидаю, что это правильное место для остальных вопросов.
Связанный (может быть, даже дубликат): physics.stackexchange.com/q/17768

Ответы (1)

Есть много ситуаций, когда потенциал зависит от времени. Основная причина, по которой вы их не видели, скорее всего, в том, что вы искали не в том месте.

Однако при этом действительно существует четкое разделение между статической и зависящей от времени составляющей потенциала. В подавляющем большинстве экспериментов, в которых мы используем зависящий от времени зонд для взаимодействия с системой, зонд чрезвычайно слаб (на несколько порядков) по сравнению с естественным гамильтонианом системы. Это означает, что его лучше всего рассматривать с помощью теории возмущений, так что наилучшая стратегия состоит в том, чтобы решить независимое от времени уравнение Шрёдингера для доминирующей структурной части гамильтониана (которая обычно не зависит от времени), а затем заняться зондом.

Более того, проводится огромное количество экспериментов по разным причинам с использованием осциллирующих потенциалов, очень близких к монохроматическим. Для этих потенциалов часто можно перейти к «вращающейся системе отсчета», в которой гамильтониан взаимодействия фактически становится статическим, что значительно упрощает анализ.

Тем не менее, есть много ситуаций, когда ничего из этого не работает, особенно если зонд достаточно силен, чтобы выйти из режима возмущений. Но даже в этом случае важно иметь под рукой структуру системы (т. е. собственные состояния гамильтониана без взаимодействия), поскольку они, как правило, являются важными частями анализа, даже если они больше не играют явной роли в решении ТДСЭ.

Если вы хотите более глубоко изучить эти темы, я рекомендую книгу Дэвида Таннора « Квантовая механика: перспектива, зависящая от времени» .

И наконец,

Кроме того, если мы хотим решить его численно, мне кажется, мы также не можем упростить, используя преобразование Фурье с разделенным шагом или в форму, обрабатываемую Рунге-Кутта. Это верно?

Нет, это не так. Зависящие от времени потенциалы прекрасно решаются стандартными численными методами. Возможно, им потребуется небольшая доработка, но не более того.

Да, конечно, я забыл об изучении нестационарных возмущений. Не могли бы вы назвать несколько примеров, когда зонд находился бы вне возмущенного режима (или просто система, которую можно было бы изучать без теории возмущений)? Что касается численных методов, я не вижу, как использовать, например, Рунге-Кутта, так как я понимаю, что RK4 решает уравнения вида ∂ т Ψ "=" ф ( Икс , Ψ ) но теперь у нас есть ф ( Икс , т , Ψ ) с В зависит от т в дополнение к Икс .
Хорошими примерами из моей жизни являются генерация гармоник высокого порядка и надпороговая ионизация в туннельном режиме. Несомненно, есть и другие.
По поводу численных методов: вы серьезно сомневаетесь, что TDSE можно решить численно? Если вам показали только ограниченный класс решателей Рунге-Кутты, поищите текст, посвященный более широким вариантам метода. Этот поиск в Google является хорошей отправной точкой - зоопарк методов для зависящего от времени QM слишком широк, чтобы упоминать его здесь. Практически каждый метод здесь , кроме методов собственных значений, может использоваться для задач, зависящих от времени.
Нет, конечно, я не сомневаюсь, что ее можно решить численно; просто не понимаю, как применяются стандартные методы, что для меня равнозначно RK (у меня очень ограниченный опыт числовых вычислений в PDE). Спасибо за ресурсы.
Почему мы предполагаем, что потенциал не зависит от времени в уравнении Шрёдингера?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v