Почему натяжение на свободных концах равно нулю?

Рассмотрим очень короткий участок веревки$d\ell$, с массой$dm$. Уравнение движения этого отрезка по линии каната имеет вид

Если в веревке есть ненулевое натяжение, мы можем работать в пределе, когда любая гравитационная сила$dm\,g$незначительно. Это уравнение движения — это то, где мы получаем приближение, что в «безмассовой» веревке, которая не растягивается, натяжение в веревке является постоянным. Если$T_\text{forward} \neq T_\text{backward}$, подход предсказывает, что ускорение$a$становится больше как массовый сегмент$dm$становится меньше.

Теперь посмотрим на последний отрезок веревки, где натяжение в одном направлении отсутствует:

Натяжение веревки на конце должно исчезнуть, если только последний отрезок не должен ускоряться.

Хорошо, теперь мой взгляд на вопрос 2. Я уже ответил на вопрос 1 в другом ответе и обычно редактировал бы этот ответ, но, похоже, много путаницы в отношении напряженности, и я думаю, что отдельный ответ лучше привлек бы внимание к проблеме. . У меня есть 2 основных момента:

1 - Натяжение будет влиять на трение. Во многих ответах и ​​даже в вопросе о том, влияет ли напряжение на нормальную силу, много путаницы. Путаница возникает из-за того, что, когда мы рассматриваем веревку небольшой длины и эта длина стремится к нулю, нормальная составляющая натяжения стремится к нулю, что делает вклад трения в трение стремящимся к нулю. Однако когда длина каждого элемента веревки стремится к нулю, количество элементов веревки, которые мы должны учитывать, стремится к бесконечности. Чтобы напряжением можно было пренебречь, оно должно стремиться к нулю быстрее, чем увеличивается число элементов. Это в основном версия парадокса Зенона. Не добавляя бесконечное количество очень маленьких вкладов, мы обсчитываем самих себя.

Для тех, кто не уверен, представьте, что у вас есть веревка, намотанная петлей между двумя параллельными стержнями, образуя овал. Во-первых, слегка оттяните стержни друг от друга, чтобы было небольшое натяжение. Вы можете легко перемещать веревку вокруг стержней. Затем сильно натяните стержни, чтобы веревка была очень натянутой. Вам будет гораздо труднее тянуть веревку, чтобы переместить ее относительно стержней. Вот почему вы должны натягивать ремни, используемые для передачи мощности в промышленных и других целях. При недостаточном натяжении ремень проскальзывает.

Теперь можно было бы подумать «но это не одно и то же», этот ответ говорит о конечной длине ремня, а приближение нулевого натяжения говорит о бесконечно малой длине веревки. Это верно, но как увеличится трение на макроуровне, если мы можем пренебречь им на микроуровне? Это невозможно. Каждый маленький элемент веревки немного способствует трению.

2 - Теперь возникает вопрос: можно ли здесь пренебречь трением, понимая, что единственной внешней силой является гравитация (без внешнего напряжения)? Ответ, вероятно, нет, если только вы не ищете приближение.

Чтобы понять почему, представьте дискретную систему из 3 блоков, связанных друг с другом очень жесткими пружинами. Под очень жестким я подразумеваю, что между блоками может возникать любое натяжение без слишком большого перемещения блоков, так что этими движениями можно пренебречь. Это похоже на нерастяжимую веревку. Для моделирования веревки мы также предположим, что пружины не могут работать на сжатие, а только на растяжение, при этом сила, действующая на пружину, равна нулю при сжатии (с отрицательным натяжением).

Например, поставить блоки на круглую поверхность вопроса под углом 30, 45 и 60 градусов относительно горизонтали. Во-первых, представьте, что вы устанавливаете блоки без какого-либо напряжения в пружинах, в равновесии. Это, безусловно, возможно, если коэффициент трения достаточно велик. Теперь добавьте немного напряжения в пружину от 45 до 60 градусов. Напряжение изменится, что изменит трение, и мы все еще в равновесии. Итак, вопрос

Мы должны найти напряжение как функцию тэты.

Не определяется однозначно. Я предполагаю, что имеется в виду, каково напряжение как функция тета, когда коэффициент трения минимален. Я предполагаю, почему натяжением пренебрегают в той части исходного вопроса, которая вызывает проблему, потому что решение рассматривало всю веревку как сущность и пыталось определить, каково общее трение. Диаграмма свободного тела для веревки наивно включала бы для каждого элемента гравитационную силу, нормаль и трение, а затем интегрировали бы эти суммарные силы, и, поскольку натяжение равно нулю на обоих концах, больше ничего. Однако, как видно выше, напряжением нельзя так просто пренебречь. Это все равно, что предположить, что если вы замените веревку зажимом, то внутренними силами в зажиме можно пренебречь. Единственный способ пренебречь напряжением таким образом, если напряжение каким-то образом намного меньше, чем гравитация и трение повсюду. Вероятно, это не так, по крайней мере, на первом рисунке. Для участка веревки, расположенного близко к точке В, натяжение порядка силы тяжести, так как обе силы близки к вертикальным, поэтому трением можно пренебречь. Однако, если вы возьмете кусок веревки, натянутый, скажем, на 10 градусов от точки B, натяжение на связанном конце будет ориентировано относительно вертикали на 10 градусов (и на порядок величины веса куска веревки), и из-за этого напряжения возникнет нормальная сила, которая создаст некоторое трение в дополнение к вкладу силы тяжести. поскольку обе силы близки к вертикальным, трением можно пренебречь. Однако, если вы возьмете кусок веревки, натянутый, скажем, на 10 градусов от точки B, натяжение на связанном конце будет ориентировано относительно вертикали на 10 градусов (и на порядок величины веса куска веревки), и из-за этого напряжения возникнет нормальная сила, которая создаст некоторое трение в дополнение к вкладу силы тяжести. поскольку обе силы близки к вертикальным, трением можно пренебречь. Однако, если вы возьмете кусок веревки, натянутый, скажем, на 10 градусов от точки B, натяжение на связанном конце будет ориентировано относительно вертикали на 10 градусов (и на порядок величины веса куска веревки), и из-за этого напряжения возникнет нормальная сила, которая создаст некоторое трение в дополнение к вкладу силы тяжести.

Наивно было бы думать, что трение вблизи B, но не точно в B, будет в два раза больше силы трения, если пренебречь натяжением. Действительно, гравитация и трение действуют примерно в противоположных направлениях и имеют примерно одинаковую абсолютную силу. Действительно, поскольку нормальная сила, создаваемая этими силами, мала, что и определяет трение, трение не может играть большой роли в уменьшении натяжения.

В заключение, не видя исходного материала, из которого взяты вопросы, и исходных решений, говорить, что напряжением можно пренебречь при расчете трения, неверно. В исходной задаче может быть что-то, что намекает на то, что нужно это сделать, или ответ может быть просто неверным. Я видел, как университетские профессора допускают ошибки, и я видел ошибки в учебниках.

Для вопроса 1 мы начнем с перечисления сил, действующих на небольшой отрезок веревки в самом ее конце, который я буду называть элементом веревки. У нас есть гравитация, трение и, если оно есть, напряжение. Обратите внимание, что поскольку мы находимся в самом конце, натяжение есть только с одной стороны элемента веревки. Теперь, если вы уменьшите длину элемента веревки до нуля, трение и гравитационное притяжение будут стремиться к нулю. Однако натяжение является граничным явлением на связанном конце элемента каната. Натяжение не зависит от того, что происходит внутри элемента веревки, а только от того, что происходит на границе между элементом веревки и остальной частью веревки. Если бы натяжение очень маленького элемента каната было ненулевым, элемент каната разгонялся бы очень быстро, поскольку натяжение было бы единственной силой, действующей на элемент каната с очень малой массой. так как две другие силы стремятся к нулю. Единственное условие, которое приводит к статическому состоянию, - это натяжение, которое стремится к нулю на конце, по крайней мере, так же быстро, как и две другие силы (тот же порядок длины веревки).

Слева нет массовых элементов, но те, что справа, определенно будут оказывать силу.

Это правильно, если предположить, что трение непостоянно. Если трения справа почти нет, то вес должен поддерживаться только последней частью слева. Как будто его там прибили.

Но предположим, что все элементы имеют силу трения$\Delta F_a = \Delta T - W_t$, (это означает достаточное трение, чтобы уравновесить разницу между тангенциальной составляющей веса и разницей натяжения в элементе).

Когда анализ доходит до последнего элемента,$\Delta T = T$. На свободной стороне ничего не тянет, а на внутренней стороне все напряжение этой области. Как следствие, напряжение стремится к нулю при переходе к свободным концам.

Силы в перпендикулярной реакции - это нормальная сила, составляющая веса, и Tdθ.

Баланс сил в элементе следует учитывать$\Delta T$и не$T$. Но он присутствует только для тангенциального направления, как показано выше.

Перпендикулярно поверхности есть только:$W_N = N$(нормальная к поверхности составляющая веса уравновешивается нормальной силой)

Как указал Джейн Кустубх, можно работать с небольшим отрезком веревки массой: dm = λR(dθ). Тогда радиальные силы будут: dN – g(dm)sinθ – T(dθ) = 0, а тангенциальные dT + df – g(dm)cosθ = 0, где dN, df и dT – малые силы. , а напряжение, связанное с дм. (T(dθ) — это радиальное изменение вектора T, которым следует пренебречь, чтобы упростить расчеты.) Я думаю, что мы можем предположить, что трение будет пропорционально нормальной силе: df = u(dN) = ug(dm)sinθ, где u — константа пропорциональности и, возможно, не стандартный коэффициент статического трения, который дает максимально допустимое трение. С помощью этого выражения для трения в тангенциальном уравнении можно найти dT, а затем проинтегрировать от нижнего конца, чтобы найти T как функцию угла. Я нашел T как функцию θ, как указано выше. Приравнял его к нулю вверху и нашел u = 1. Затем я настроил числовое моделирование для эскиза 1 (в электронной таблице), работая с шагом в полградуса. Моделирование совпало с моими расчетами. Наконец, я изменил симуляцию, включив в нее T(dθ). Результат был u = 0,727. Ясно, что T(dθ) нельзя игнорировать. После дальнейших размышлений я «настроил» свое моделирование так, чтобы оно могло работать за пределами 90 градусов (с T(dθ)), ввел u = (1/3) и обнаружил, что натяжение на обоих концах 90 градусов дуга была бы нулевой, если бы угол с левой стороны был 67,8 градусов. Без T(dθ) угол составлял 63,7 градуса. Моделирование совпало с моими расчетами. Наконец, я изменил симуляцию, включив в нее T(dθ). Результат был u = 0,727. Ясно, что T(dθ) нельзя игнорировать. После дальнейших размышлений я «настроил» свое моделирование так, чтобы оно могло работать за пределами 90 градусов (с T(dθ)), ввел u = (1/3) и обнаружил, что натяжение на обоих концах 90 градусов дуга была бы нулевой, если бы угол с левой стороны был 67,8 градусов. Без T(dθ) угол составлял 63,7 градуса. Моделирование совпало с моими расчетами. Наконец, я изменил симуляцию, включив в нее T(dθ). Результат был u = 0,727. Ясно, что T(dθ) нельзя игнорировать. После дальнейших размышлений я «настроил» свое моделирование так, чтобы оно могло работать за пределами 90 градусов (с T(dθ)), ввел u = (1/3) и обнаружил, что натяжение на обоих концах 90 градусов дуга была бы нулевой, если бы угол с левой стороны был 67,8 градусов. Без T(dθ) угол составлял 63,7 градуса.