Почему не могут быть компактные симплектические группы Sp(n)≡USp(2n)≡U(2n)∩Sp(2n,C)Sp(n)≡USp(2n)≡U(2n)∩Sp(2n,C)Sp (n)\equiv USp(2n)\equiv U(2n)\cap Sp(2n,\mathbb{C}) калибровочные группы в теории Янга-Миллса?

Структура стандартной модели$SU(3)\times SU(2)\times U(1)$является хиральным, что в основном говорит вам о необходимости хиральных фермионов. Если левые фермионы преобразуются по представлению$R$группы симметрии, то из-за зарядового сопряжения, связывающего левые и правые фермионы как

$$\psi_{Right}=C(\bar{\psi^C})^T_{Left}$$ и поэтому правые фермионы должны преобразовываться при комплексно-сопряженном представлении $R^*$. Если $R$действительна или псевдореальна, тогда левые и правые фермионы преобразуются в одно и то же представление группы, и известно, что теория является векторноподобной теорией (КХД). Чтобы иметь киральную структуру фермионов, нужно иметь $R \ne R^*$который требует $R$быть сложным.

Несмотря на то, что КХД является векторной и$2=2^*$, вся стандартная модель киральна, в чем можно убедиться, написав$R$для левых фермионов как,

$$R=(3,2)_{\frac{1}{6}}+(3^*,1)_{\frac{-2}{3}}+(3^*,1)_{\frac{1}{3}}+(1,2)_{\frac{-1}{2}}+(1,1)_{1}$$ комплексно-сопряженное с которым не то же самое, что $R$.

Известно, что$USp(2n)$для$n>2$допускает реальные и псевдореальные представления (Вайнберг, том 2, глава 22) и$USp(4)$недостаточно велик, чтобы вместить стандартную модель.

Более того, используя$Sp(n)$как калибровочная группа требует четного числа мультиплетов фермионов, иначе калибровочная теория покажет непертурбативную аномалию$^1$с участием четвертой гомотопической группы$Sp(n)$.

1- Эд Виттен, nucl. физ. B223 (1983), 433-444.

Думаю, ответ на ваш вопрос не так тривиален. Вот моя попытка. Я хочу показать, почему симплектическая группа не является хорошим выбором для построения модели с феноменологической точки зрения.

Теперь внимательно посмотрите на симплектическую группу.

• $Sp(1)$изоморфен$SU(2)$
• $Sp(4)$изоморфен$SO(5)$(что связано с более глубокой связью между$SO(2n+1)$и$Sp(2n)$)

Группа датчиков стандартной модели$SU(3)_{C}\times SU(2)_{L}\times U(1)_{Y}$. Если мы посмотрим поближе, то$SU(3)$имеет сложное представление (фундаментальное и антифундаментальное представление не смешиваются друг с другом),$SU(2)$имеет псевдовещественное представление. Это просто говорит о том, что частицы принадлежат стандартной модели (также принадлежат реальному миру!) Калибровочная группа имеет сложные представления .

Самое поразительное, что симплектическая группа не имеет комплексных представлений. Например$USp(2n)$с$n\geq 3$имеет только реальные и псевдореальные представления. Таким образом, любая калибровочная теория, которая не может вместить сложное представление , не является хорошим выбором для построения модели.

Для более строгой перспективы можно обратиться к Теории групп для построения унифицированных моделей Слански .