Расслоения и компактифицированное пространство-время

Калибровочную теорию нельзя рассматривать исключительно локально, ей присущи глобальные особенности, которые нельзя увидеть локально. Правильная математическая формализация калибровочной теории Янга-Миллса состоит в том, что калибровочное поле$A$является соединением на главном пучке $P\to M$над пространством-временем$M$. Однако на практике оказывается, что физики на самом деле не хотят$M$быть самим пространством-временем, но компактифицированным пространством-временем .

Мы можем видеть это наиболее ясно в построении инстантона BPST на евклидовом$\mathbb{R}^4$: Калибровочно-инвариантный след самой напряженности поля выглядит как$\mathrm{tr}(F)\propto \frac{\rho^2}{(x^2+\rho^2)^2}$и везде четко определена, убывая к бесконечности. Но если мы рассмотрим связанный калибровочный потенциал$A$, обнаруживается, что он не везде четко определен, он идет как$A\propto \frac{x^3}{x^2(x^2+\rho^2)}$, который является единственным для$x\to 0$, но четко определенный для$\lvert x\rvert\to\infty$в качестве$A(x)\to U(x)^{-1}\mathrm{d}U(x)$, куда$U(x)$по сути, это калибровочное преобразование, которое вы записали в своем вопросе.

Итак, мы хотим$F$как физически допустимая напряженность поля, но соответствующая ей$A$не является четко определенным на$\mathbb{R}^4$. Точка зрения расслоения не может нам помочь, потому что все расслоения над евклидовым пространством тривиальны, т. е.$A$ всегда должен быть определен глобально . Однако если перейти к$S^4$как конформная компактификация$\mathbb{R}^4$и отождествить один из полюсов с «бесконечностью», а другой с нулем, то становятся возможными нетривиальные расслоения, и мы получаем два локальных описания на северном и южном «полушариях», которые мы обычно можем распространить на всю сферу , кроме одного точка . Если местное описание$A$распространяется на всю сферу, то главное расслоение калибровочной теории тривиально.

Но мы уже видели, что конкретные$A$мы выбрали не распространяется на$x=0$, а на самом деле топологический инвариант$\int\mathrm{tr}(F\wedge F)$отличен от нуля, что означает, что расслоение нетривиально, что означает$A$ не может распространяться на всю сферу. В частности, невозможно найти$A$который четко определен в каждом$x\in\mathbb{R}^4$ и имеет четко определенный предел к бесконечности, что дает нам решение инстантона BPST$F$.

Таким образом, у вас есть ровно два варианта: либо мы должны рассмотреть калибровочную теорию на$S^4$вместо этого на$\mathbb{R}^4$, или инстантоны BPST - фактически все инстантоны - на самом деле не являются разрешенными решениями калибровочной теории. Стандартная физика выбирает первое в свете вклада инстантонов в обнаруживаемые вещи, такие как осевая аномалия.

Преобразования большой калибровки

Теперь, когда мы знаем, что рассматриваем основной пучок$P\to S^4$, калибровочное преобразование является автоморфизмом, сохраняющим слои$P\to P$, и может случиться так, что они не гомотопны тождественному отображению$P\to P$. В качестве игрушечного примера рассмотрим$\mathrm{U}(1)$-пучок$\mathrm{U}(1)\times S^1\to S^1$, который является тором, и калибровочное преобразование$\mathrm{U}(1)\times S^1\to\mathrm{U}(1)\times S^1, (g,s)\mapsto (gs,s)$, принимающее каноническое вложение$S^1\to \mathrm{U}(1)\times S^1$и обматывает его один раз по кругу$\mathrm{U}(1)$. Поскольку число обмотки является гомотопическим инвариантом, образ$S^1$, как путь, не гомотопен источнику и, следовательно, это преобразование не гомотопно тождеству. Это большое калибровочное преобразование в собственном математическом смысле, как оно определено в статье в Википедии и обсуждается, например, в этом ответе Дэвида Бар Моше . На самом деле я не уверен, существуют ли «настоящие» большие калибровочные преобразования на$S^4$в этом смысле, но я считаю, что нет.

«Преобразования ложной калибровки», или: Функции перехода

Не имея формального аппарата главных расслоений, физик часто смешивает два разных объекта — калибровочные преобразования$P\to P$, которые спускаются к функциям$g_i : U_i\to G$в локальном описании и функция перехода , которые являются функциями, подобными калибровочным преобразованиям$t_{ij} : U_i\cap U_j\to G$которые определяют пакет в локальном описании и не существуют глобально. Оба$g_i$и$t_{ij}$выполнять определенные условия совместимости, чтобы быть глобально четко определенными.

Теперь, если физик делает калибровочное преобразование, он обычно рассматривает только$\mathbb{R}^4$, что означает, что они неявно задают калибровочное преобразование для другого локального описания — открытого множества вокруг$\infty$- быть тривиальным. Затем условие совместимости говорит, что$g_i = t_{ij}$на$U_i\cap U_j$. В локальном описании физика это перекрытие есть сфера на бесконечности , т. е. поведение калибровочного преобразования как$\lvert x\rvert \to \infty$. Таким образом, условие, что$U(x)\to I$что смущает вас, Ицыкона, Зубера и, вероятно, бесчисленное множество других, есть не что иное, как условие, что$U(x)$, данное в этом локальном описании, на самом деле поднимается до правильного калибровочного преобразования на расслоении$P\to S^4$.

А$U(x)$которое этого не делает, либо должно быть дополнено соответствующим преобразованием в другом локальном описании, либо оно меняет пучок , то есть физик заявил, что он изменил функцию перехода, а тем самым (вероятно) и пучок. $\mathrm{SU}(2)\cong S^3$связки более$S^4$классифицируются по картам$S^3\to S^3$"на экваторе", в полной аналогии с$\mathrm{U}(1)$-связки на$S^1$как описано в этом моем ответе . И в качестве$x\gg c$, ваш$U^{(1)}(x)$становится функцией