Почему невозможно измерить положение и импульс одновременно с произвольной точностью?

Когда кто-то спрашивает: «Действительно ли в квантовой теории невозможно одновременно измерить положение и импульс с произвольной точностью?», лучший предварительный ответ, который можно дать, — это другой вопрос: «Что именно вы подразумеваете под измерением, под точностью и под положением и импульс ?». Каждое из этих слов имеет несколько значений в квантовой теории, отраженных в литературе и экспериментальной практике. В определенном смысле одновременное и сколь угодно точное измерение положения и импульса не только возможно, но и регулярно выполняется во многих квантовых лабораториях, например в лабораториях квантовой оптики. Такое измерение действительно лежит в основе современных квантовых приложений, таких как распределение квантовых ключей.

Я думаю, что лучше сначала прояснить, каковы различные значения измерения , положения , импульса в реальных приложениях и в литературе, а затем привести примеры различных экспериментальных процедур, которые называются «измерение положения» и т. д. Важно то, что понять, что делается; остальное просто семантика.

Позвольте мне добраться туда шаг за шагом. Ответ ниже обобщает то, что вы можете найти в текущих статьях, опубликованных в научных журналах и текущих учебниках, работах и ​​результатах, которые я испытал на себе как исследователь в области квантовой оптики. Все ссылки даны по всему ответу, а некоторые дополнительные — в конце. Я настоятельно рекомендую вам пойти и прочитать их . Кроме того, этот ответ предназначен для обсуждения принципа неопределенности и одновременного измерения в рамках квантовой теории . Может быть, в будущем мы все будем использовать альтернативную теорию, в которой одним и тем же экспериментальным фактам придается другое значение; в настоящее время предлагаются такие альтернативные теории, и многие исследователи действительно работают над альтернативами. Наконец, этот ответ пытается избежать терминологическогодебаты, разъясняющие экспериментальную, лабораторную сторону дела. Предупреждения о терминологии будут даны повсюду. (Однако я не имею в виду, что терминология не важна: разные термины могут вдохновлять разные направления исследований.)

Мы должны быть осторожны, потому что наше понимание принципа неопределенности сегодня очень отличается от того, как люди видели его в 1930–50-х годах. Современное понимание подтверждается и современной экспериментальной практикой. Есть два основных момента, которые необходимо уточнить.

1. Что именно мы подразумеваем под «измерением» и «точностью» или «$\Delta x$"?

Общая картина такова:

1. Мы можем подготовить одну копию физической системы по какому-то определенному протоколу. Мы говорим, что система была подготовлена ​​в определенном состоянии (обычно представляемом матрицей плотности$\pmb{\rho}$). Затем мы выполняем определенную операцию, которая дает результат. Мы говорим, что выполнили один пример измерения системы (обычно представляемого так называемой положительно-операторнозначной мерой). $\{\pmb{O}_i\}$, где$i$обозначает возможные результаты).

2. Мы можем повторить описанную выше процедуру заново — новую копию системы — столько раз, сколько захотим, в соответствии с теми же конкретными протоколами. Таким образом, мы делаем много примеров одного и того же измерения на копиях системы, приготовленных в одном и том же состоянии. Таким образом, мы получаем набор результатов измерений, из которых мы можем построить частотное распределение и статистику. В этом ответе, когда я говорю «повторение измерения», я имею в виду именно это.

Также возникает вопрос, что происходит, когда мы делаем два или более измерений подряд в одной и той же системе . Но я не собираюсь обсуждать это здесь; см. ссылки в конце.

Вот почему общие эмпирические утверждения квантовой теории имеют такой вид: «Если мы подготовим систему в состоянии$\pmb{\rho}$, и выполните измерение$\{\pmb{O}_i\}$, у нас есть вероятность$p_1$наблюдения за результатом$i=1$, вероятность$p_2$наблюдения за результатом$i=2$, ..." и так далее (с соответствующими непрерывными ограничениями для непрерывных результатов).

Теперь существует точность/ошибка измерения, связанная с каждым отдельным экземпляром измерения, а также изменчивость результатов при повторении измерения. Ошибку первого типа можно сделать сколь угодно малой. Однако изменчивость при повторениях, как правило, не может быть уменьшена ниже некоторой отличной от нуля величины, которая зависит от конкретного состояния и конкретного измерения. Эта последняя изменчивость и есть то, что "$\Delta x$"в формуле Гейзенберга относится к .

Поэтому, когда мы говорим «не может быть измерено с произвольной точностью», мы более точно подразумеваем, что «его изменчивость при повторных измерениях нельзя сделать произвольно низкой». Фундаментальная загадка квантовой механики заключается в отсутствии систематической воспроизводимости результатов измерений. Но ошибка в результате каждого отдельного случая не имеет теоретической нижней границы.

Конечно, эта ситуация влияет на наши предсказательные способности, потому что всякий раз, когда мы повторяем одно и то же измерение в системе, подготовленной для одного и того же состояния, мы не знаем, чего ожидать в пределах$\Delta x$.

Это важное различие между одиночными и множественными случаями измерения впервые было указано Баллентайном в 1970 году:

• Баллентайн: Статистическая интерпретация квантовой механики , ред. мод. физ. 42 (1970) 358 ( другая копия )

см. особенно очень пояснительный рис. 2 там. И дело не в «интерпретации», как можно было бы сегодня предположить из названия. Это экспериментальный факт. Ясные экспериментальные примеры этого различия приведены, например, в

• Леонхардт: измерение квантового состояния света (Кембридж, 1997 г.)

см., например, рис. 2.1 и пояснение к нему. Также более продвинутый

• Мандель, Вольф: оптическая когерентность и квантовая оптика (Кембридж, 2008 г.).

См. также приведенные ниже учебники.

Различие между ошибкой одного экземпляра измерения и изменчивостью между экземплярами измерения также становится очевидным, если вы думаете об эксперименте Штерна-Герлаха. Предположим, мы готовим спин в состоянии$x+$и мы измеряем его в направлении$y$. Измерение дает только одно из двух четко различимых пятен, соответствующих либо результату$+\hbar/2$или$-\hbar/2$в$y$направление. Этот результат может иметь некоторую ошибку на практике, но в принципе мы можем четко отличить, является ли он правильным.$+\hbar/2$или$-\hbar/2$. Однако если мы подготовим новый спин в состоянии$x+$и измерить$y$опять же, мы вполне можем найти противоположный результат — опять же очень точно измеренный. Во многих измерениях мы наблюдаем эти$+$и$-$результаты примерно по 50% каждый. Стандартное отклонение$\hbar/2$, и это действительно "$\Delta S_y$дается квантовыми формулами: они относятся к повторениям измерений, а не к одному единственному случаю, когда вы пропускаете один электрон через прибор.

Следует подчеркнуть, что некоторые авторы (например, Леонхардт выше) используют термин «результат измерения» для обозначения не результата единичного эксперимента, а среднего значения$\bar{x}$обнаруживаются в нескольких повторах эксперимента. Конечно, это среднее значение имеет неопределенность.$\Delta x$. Здесь нет никакого противоречия, просто другая терминология. Вы можете называть «измерение» как хотите — просто будьте точны в объяснении того, что представляет собой ваш экспериментальный протокол. Некоторые авторы используют термин «однократное измерение», чтобы прояснить различие; например, проверьте эти заголовки:

• Пышкин и др.: Охлаждение квантовых систем в основном состоянии с помощью однократного измерения , Phys. Ред. A 93 (2016) 032120 ( arXiv )

• Юнг и др. Пределы однократного обнаружения квантового освещения с дискретными сигналами , npj Quantum Inf. 6 (2020) 75 ( arXiv ).

Тот факт, что, несмотря на прогностическую неопределенность$\Delta x$конечно, мы можем иметь бесконечную точность в одном (одноразовом) измерении, это не бесполезно, но очень важно в таких приложениях, как квантовое распределение ключей . Во многих протоколах распределения ключей две стороны, совместно использующие ключи, сравнивают точные значения.$x$они получены в единичных измерениях их запутанных состояний. Эти значения будут коррелированы в пределах их единичной погрешности измерения, которая намного меньше прогнозной неопределенности.$\Delta x$. Присутствие подслушивающего разрушило бы эту корреляцию. Таким образом, обе стороны могут знать, что существует перехватчик, если они видят, что их измеренные значения согласуются только в пределах$\Delta x$, а не в пределах гораздо меньшей погрешности измерения в одном экземпляре. Эта схема не работала бы, если бы единичная ошибка измерения была$\Delta x$. См. например

• Рейд: Квантовая криптография с заранее определенным ключом, использующая корреляции Эйнштейна-Подольского-Розена с непрерывной переменной , Phys. Ред. A 62 (2000) 062308 ( arXiv )

• Гроссханс и др.: Квантовое распределение ключей с использованием когерентных состояний, модулированных по Гауссу , Nature 421 (2003) 238 ( arXiv ). На рисунке 2 очень хорошо видна разница между ошибкой измерения в одном экземпляре и изменчивостью$\Delta x$по измерениям.

• Мэдсен и др.: Непрерывное переменное распределение квантовых ключей с модулированными запутанными состояниями (свободный доступ), Nat. Комм. 3 (2012) 1083. См., в частности, рис. 4 и пояснение к нему.

2. Что такое «измерение положения» или «импульса»?

В классической механике есть только одно измерение (даже если оно может быть реализовано разными технологическими средствами) любой конкретной величины.$Q$, такие как положение, вращение или импульс. А классическая механика говорит, что и ошибку в одном экземпляре измерения, и изменчивость между экземплярами можно сделать сколь угодно малой.

В квантовой теории существует множество различных экспериментальных протоколов, которые мы можем интерпретировать по разным причинам как «измерения» этой величины.$Q$. Обычно все они дают одно и то же среднее значение по повторениям (для данного состояния), но отличаются другими статистическими свойствами, такими как дисперсия. Из-за этого, а также из-за изменчивости, объясненной выше, Белл (из знаменитой теоремы Белла ) возразил, что мы на самом деле не должны называть эти экспериментальные процедуры «измерениями»:

• Белл: Против «измерения» ( другая копия ), в Миллере, изд.: Шестьдесят два года неопределенности: исторические, философские и физические исследования основ квантовой механики (Пленум 1990 г.).

В частности, в классической физике есть одно совместное, одновременное измерение положения и импульса. В квантовой теории существует несколько протоколов измерений, которые можно интерпретировать как совместные, одновременные измерения положения и импульса в том смысле, что каждый экземпляр такого измерения дает два значения: одно — положение, другое — импульс. В классическом пределе они становятся классическим одновременным измерением$x$и$p$. На эту возможность впервые указали Артурс и Келли в 1965 году:

• Артурс, Келли: об одновременном измерении пары сопряженных наблюдаемых , Bell Syst. Тех. J. 44 (1965) 725 ( другая копия ).

и далее обсуждалось, например, в

• Стенхольм: Одновременное измерение сопряженных переменных , Ann. физ. (Нью-Йорк) 218 ​​(1992) 233.

Это одновременное измерение не представлено$\hat{x}$и$\hat{p}$, а парой коммутирующих операторов$(\hat{X}, \hat{P})$удовлетворяющий$\hat{X}+\hat{x}=\hat{a}$,$\hat{P}+\hat{p}=\hat{b}$, для специально выбранных$\hat{a}, \hat{b}$. Дело в том, что совместный оператор$(\hat{X}, \hat{P})$можно по праву назвать одновременным измерением положения и импульса, поскольку оно сводится к этому измерению в классическом пределе (и, очевидно, мы имеем$\bar{X}=\bar{x}, \bar{P}=\bar{p}$). На самом деле, из приведенных выше уравнений мы вполне можем сказать, что$\hat{x},\hat{p}$определяются с точки зрения$\hat{X},\hat{P}$, а не наоборот.

Такое одновременное измерение, которое возможно для любых пар сопряженных переменных, а не только для положения и импульса, не является теоретической причудой, а является повседневным рутинным измерением, например, в лабораториях квантовой оптики. Среди прочего, он используется для квантовой томографии . Насколько мне известно, одна из первых экспериментальных реализаций была сделана в 1984 году:

• Уокер, Кэрролл: Одновременные измерения фазы и амплитуды оптических сигналов с использованием многопортового перехода , Электрон. лат. 20 (1984) 981, 1075.

Вы можете найти подробное теоретическое и экспериментальное описание его в книге Леонхардта выше, в главе 6, красноречиво озаглавленной « Одновременное измерение положения и импульса ».

Но, как я уже сказал, существует несколько разных протоколов, которые можно назвать одновременным измерением сопряженных наблюдаемых, соответствующих разным выборам$\hat{a},\hat{b}$. Что интересно, так это то, как эти измерения различаются. Их можно рассматривать как образующие континуум между двумя крайностями (см. ссылки выше):

– С одной стороны, изменчивость при повторных измерениях$X$имеет нижнюю границу (которая зависит от состояния системы), а изменчивость$P$бесконечно. В основном это как если бы мы измеряли$X$без измерения$P$. Это соответствует традиционному$\hat{x}$.

– С другой стороны, изменчивость при повторных измерениях$P$имеет нижнюю границу, а изменчивость для$X$бесконечно. Так что это как если бы мы измеряли$P$без измерения$X$. Это соответствует традиционному$\hat{p}$.

– Между ними есть протоколы измерений, которые имеют все больше и больше вариаций для$X$между экземплярами измерения и все меньшей и меньшей изменчивостью для$P$. Этот «континуум» протоколов измерений находится между двумя крайними точками, описанными выше. Между ними есть «золотая середина», в которой мы имеем одновременное измерение обеих величин с конечной изменчивостью для каждой. Произведение их изменчивости,$\Delta X\ \Delta P$, поскольку этот «протокол измерения точки наилучшего восприятия» удовлетворяет неравенству, аналогичному известному неравенству для сопряженных переменных, но с верхней границей, немного превышающей традиционную$\hbar/2$(всего в два раза больше, см. уравнение (12) в Arthurs & Kelly). Так что за возможность измерять их одновременно приходится платить.

Такой «континуум» одновременных измерений возможен и для знаменитого эксперимента с двумя щелями. Это реализуется за счет использования «шумящих» детекторов на щелях. Существуют установки, в которых мы можем наблюдать слабую интерференцию за двухщелевым экраном и в то же время иметь некоторую уверенность относительно щели, через которую может быть зарегистрирован фотон. См., например:

• Вуттерс, Зурек: Комплементарность в эксперименте с двумя щелями: квантовая неразделимость и количественная формулировка принципа Бора , Phys. Ред. D 192 (1979) 473

• Банашек и др.: Квантово-механический эксперимент с внутренней степенью свободы , Nat. Комм. 4 (2013) 2594 ( архив )

• Чиао и др.: Квантовая нелокальность в двухфотонных экспериментах в Беркли , Quant. Полукласс. Опц. 73 (1995) 259 ( arXiv ) для вариантов этого эксперимента.

У нас может возникнуть соблазн спросить: «Хорошо, но каково реальное измерение положения и импульса среди всего этого?». Но в рамках квантовой теории это бессмысленный вопрос, аналогичный вопросу: «В какой системе отсчета эти два события действительно одновременны?» в рамках теории относительности. Классических понятий и величин положения и импульса в квантовой теории просто не существует. У нас есть несколькодругие понятия и величины, имеющие некоторое сходство с классическими. Что учитывать? это зависит от контекста и применения. Ситуация действительно имеет некоторое сходство с ситуацией «одновременности» в теории относительности: существуют «различные одновременности», зависящие от системы отсчета; который мы выбираем, зависит от проблемы и приложения.

В квантовой теории мы не можем сказать, что «система имеет эти значения» или «это действительные значения». Все, что мы можем сказать, это то, что когда мы делаем с системой то-то и то-то, то происходит то-то и то-то. По этой причине многие квантовые физики (см., например, Busch et al. ниже) предпочитают говорить о «вмешательстве в систему», а не об «измерении системы» (я лично тоже избегаю термина «измерение»).

Подводя итог: можно также сказать, что возможно одновременное и сколь угодно точное измерение положения и импульса — и по сути рутина.

Таким образом, ответ на ваш вопрос заключается в том, что в одном экземпляре измерения мы действительно можем (и делаем!) измерять положение и импульс одновременно и с произвольной точностью . Этот факт важен в таких приложениях, как упомянутое выше распределение квантовых ключей.

Но мы также наблюдаем неизбежную изменчивость при идентичных повторениях такого измерения. Эта изменчивость делает произвольную точность единичного измерения неважной в других приложениях, где вместо этого требуется согласованность за счет повторений.

Более того, мы должны указать, какое из одновременных измерений импульса и положения мы выполняем: их не одно, как в классической физике.

Чтобы составить представление об этом, вы можете представить себе разговор двух квантовых ученых:

«Вчера я провел одновременное измерение положения и импульса, используя экспериментальную процедуру$M$и подготовка системы в состояние$S$.»
– «Какие значения вы ожидали найти, прежде чем производить измерение?»
– «Плотность вероятности получения значений$x,p$был, согласно квантовой теории,$P(x,p)=\dotso$. Его среднее значение было$(\bar{x},\bar{p}) = (30\cdot 10^{-17}\ \mathrm{m},\ 893\cdot 10^{-17}\ \mathrm{kg\ m/s})$и его стандартные отклонения были$(\Delta x, \Delta p)=(1\cdot 10^{-17}\ \textrm{m},\ 1\cdot 10^{-17}\ \mathrm{kg\ m/s})$, квантовый предел. Так что я ожидал,$x$в результате приземлиться где-то между$29 \cdot 10^{-17}\ \mathrm{m}$и$31 \cdot 10^{-17}\ \mathrm{m}$; и$p$результат где-то между$892 \cdot 10^{-17}\ \mathrm{kg\ m/s}$и$894 \cdot 10^{-17}\ \mathrm{kg\ m/s}$.» (Обратите внимание, как произведение стандартных отклонений равно$\hbar\approx 10^{-34}\ \mathrm{J\ s}$.)
– «А какой результат дало измерение?»
- "Я нашел$x=(31.029\pm 0.00001)\cdot 10^{-17}\ \textrm{m}$и$p=(893.476 \pm 0.00005)\cdot 10^{-17}\ \mathrm{kg\ m/s}$, в пределах ширины циферблатов. Они согласуются с прогнозируемыми диапазонами, данными теорией.»
— «Так вы собираетесь использовать эту настройку в своем приложении?»
— «Нет. Мне нужно уметь предсказывать$x$с большей точностью, даже если это означает, что мой прогноз$p$немного ухудшается. Поэтому я буду использовать настройку с отклонениями$(\Delta x, \Delta p)=(0.1\cdot 10^{-17}\ \textrm{m},\ 10\cdot 10^{-17}\ \mathrm{kg\ m/s})$вместо."

Даже если ответ на ваш вопрос положительный, мы должны подчеркнуть, что: (1) принцип Гейзенберга не нарушается , потому что он относится к изменчивости между повторениями измерений, а не к ошибке в одном измерении. (2) По-прежнему верно, что операторы$\hat{x}$и$\hat{p}$не могут быть измерены одновременно . Мы измеряем немного другого оператора; но этот оператор по праву можно назвать совместным измерением положения и импульса, поскольку он сводится к этому измерению в классическом пределе.

Поэтому к старомодным заявлениям о принципе неопределенности следует относиться с недоверием. Когда мы уточняем, что мы подразумеваем под «неопределенностью» и «измерением», у них появляются новые, неожиданные и очень волнующие лица.

Вот несколько хороших книг, в которых эти вопросы обсуждаются с ясностью, точностью и экспериментальными данными:

• де Муйнк: основы квантовой механики, эмпирический подход (Kluwer 2004)

• Перес: Квантовая теория: концепции и методы (Kluwer 2002) ( другая копия )

• Холево: вероятностные и статистические аспекты квантовой теории (2-е изд. Edizioni della Normale, Пиза, 2011 г.)

• Буш, Грабовски, Лахти: операционная квантовая физика (Springer 1995)

• Нильсен, Чуанг: Квантовые вычисления и квантовая информация (Кембридж, 2010 г.) ( другая копия )

• Бенгтссон, Жычковски: Геометрия квантовых состояний: введение в квантовую запутанность (2-е изд., Кембридж, 2017 г.).

Вы не можете измерить точные значения одновременно, потому что точные значения для обоих не существуют одновременно.

Все свойства, скажем, электрона и выводимые из волновой функции электрона,$\Psi(\vec x)$. Волновая функция — это математический объект, охватывающий все пространство. Он имеет комплексное значение в каждой точке.

Электрон не имеет точного положения. Вместо этого он имеет вероятность быть найденным в каждой точке,$\vec x$, в пространстве при измерении. Эта вероятность$\Psi(\vec x)^*\Psi(\vec x)$. (Это немного расплывчато. Действительно вероятность быть найденным в небольшом регионе$d \vec x$является$\int \Psi(\vec x)^*\Psi(\vec x) d \vec x$.)

Вероятность быть найденным где-то равна$1$, и так$\int\Psi(\vec x)^*\Psi(\vec x)dx = 1$. Такая функция должна подойти$0$везде, кроме некоторой конечной области.

Существует предельный случай, когда$0$везде, кроме одной точки, где она бесконечна. В этом случае у него есть определенная позиция.

Вы также можете получить импульс от$\Psi(\vec x)$. Опять же, определенного импульса не существует, за исключением предельного случая.

В общем,$p = h\lambda$. Это означает, что электрон с определенным импульсом будет иметь синусоидальную волновую функцию постоянной амплитуды с определенной длиной волны. Такая волновая функция охватила бы все пространство.$\Psi(\vec x) = A e^{i \vec p \cdot \vec x}$. Это невозможно, за исключением предельного случая, когда амплитуда приближается к$0$. Но в этом предельном случае волновая функция везде имеет одинаковую (бесконечно малую) амплитуду. Электрон вообще не имеет местоположения. Он разбросан по всему пространству.

Эти предельные случаи находятся на противоположных концах ряда возможностей. Большинство волновых функций отличны от нуля в некоторой конечной области. Или, по крайней мере, при любом малом числе$\epsilon$,$|\Psi(\vec x)| > \epsilon$только в конечной области.

Электрон будет найден в этой конечной области, но у него нет точного местоположения. Просто регион, где он будет найден.

Точно так же он не имеет определенного импульса. Вы можете использовать анализ Фурье, чтобы разбить функцию на сумму функций вида$A e^{i \vec p \cdot \vec x}$.$\Psi(\vec x) = \sum A(\vec p) e^{i \vec p \cdot \vec x}$. В случае непериодической функции, как здесь, это бесконечная сумма бесконечно малых функций. Он выражается в виде интеграла, а не суммы.$\Psi(\vec x) = \int A(\vec p) e^{i \vec p \cdot \vec x} d \vec p$

Вы можете думать о$A(\vec p)$как еще один способ выражения волновой функции. Это еще одна математическая функция, определенная для этого набора всех возможных импульсов. Это полезно для описания импульса электрона.

Можно показать, что$A(\vec p)$обладает множеством тех же свойств, что и$\Psi(\vec x)$делает. Например, вероятность найти электрон с импульсом$\vec p$есть (опять же свободно)$A(\vec p)^*A(\vec p)$.

Это может быть показано$\int A(\vec p)^*A(\vec p)d\vec p = 1$. То есть вероятность найти электрон с некоторым импульсом равна$1$. Можно показать, что функция может быть отличной от нуля только для конечного диапазона$\vec p$с.

Существует предельный случай, когда$A(\vec p)$является$0$везде, кроме одного значения$\vec p$. В этом предельном случае электрон имеет определенную$\vec p$.

Но обычный случай состоит в том, что электрон не имеет ни определенного$\vec x$, ни определенное$\vec p$. То есть, когда волновая функция выражается как$\Psi(\vec x)$, имеет конечную область, где$\Psi(\vec x) > 0$. В этом случае оказывается, что при выражении волновой функции в виде$A(\vec p)$, существует конечный диапазон$\vec p$где$A(\vec p) > 0$.

Принцип неопределенности является важным соотношением между размером этих двух конечных областей.$\Delta \vec x \Delta \vec p > \hbar/2$.

Это видео от 3blue1brown иллюстрирует эту идею. В частности, он показывает, как принцип неопределенности исходит из свойств волн.

Приложение . Я не обращался к области, где ответ pglpm действительно сияет. Я подумал, что добавлю свои 2 цента.

Предположим, у вас есть электрон, подготовленный в состоянии, заданном определенной волновой функцией,$\Psi(\vec x)$. Положение и импульс могут быть рассчитаны как конкретные значения$\vec x$и$\vec p$, с неопределенностями$\Delta \vec x$и$\Delta \vec p$. Обратите внимание, что неопределенности часто выражаются в виде стандартных отклонений ожидаемых результатов. Это означает, что положение и импульс могут быть предсказаны как$\vec x \pm \Delta x$и$\vec p \pm \Delta p$.

Предположим, что электрон только что достигает свободно стоящей поверхности тонкой пленки, содержащей много атомов.

Если$\Delta \vec x$велика, невозможно заранее предсказать, в какой атом ударит электрон. Тем не менее, электрон ударит по конкретному атому. Возможно, на атом воздействуют каким-то необратимым образом, скажем, выбрасывая его и оставляя дырку. В этом случае можно вернуться позже и очень точно выяснить, каково было положение электрона.

Если$\Delta \vec p$велик, невозможно заранее предсказать, каким будет измеренный импульс электрона. Но если он выбрасывает атом, возможно, удастся измерить время пролета рассеянного электрона и атома до детекторов с высоким пространственным разрешением и получить очень точное значение того, каким оказался начальный импульс электрона.

Принцип неопределенности не ограничивает, насколько точно мы можем определить результаты этих измерений. Это ограничивает, насколько точно мы можем предсказать их заранее. Если у вас много электронов в одном и том же состоянии, это ограничивает повторяемость множественных измерений.

Сразу после столкновения электрон и атом окажутся в новых состояниях. Оба государства будут иметь$\Delta \vec x$и$\Delta \vec p$. Невозможно заранее предсказать, когда и где они попадут в свои детекторы. Но можно сказать, что объединенные результаты измерений положения и импульса рассеянного электрона и атома дадут в сумме импульс, соответствующий начальному импульсу электрона и неопределенности.

Можно измерить и положение, и импульс частицы до произвольного положения «одновременно», если вы понимаете, что эта фраза означает «в такой быстрой последовательности, что вы можете быть уверены, что распределение вероятностей для первой измеренной величины не изменился в результате эволюции Шредингера между двумя измерениями».

Но это не очень полезно , потому что между двумя измерениями всегда будет некоторая бесконечно малая задержка, и любое из них, которое будет вторым, эффективно сотрет информацию, полученную в результате первого измерения. Например, если вы измеряете положение, а затем сразу же после этого импульс, то вы можете получить очень точное значение для обоих измерений, но процесс получения точного значения импульса изменит волновую функцию таким образом, что ее положение после измерения импульса теперь будет иметь большую неопределенность. по отношению к последующему измерению. Таким образом, измерение импульса «аннулирует» информацию из предыдущего измерения положения в том смысле, что делает ее неповторимой.

Так что лучше говорить о неспособности «знать» позицию и моментум в момент времени, чем о неспособности «измерить» и то, и другое (что на самом деле возможно). Полное понимание того, почему, требует понимания как поведения измерений при «коллапсе состояния», так и отношения «широкое <-> узкое» между некоммутирующими наблюдаемыми (например, через преобразование Фурье), о котором вы упоминаете.

Это для измерений в очень быстрой последовательности. Вы могли бы спросить об измерениях, которые происходят в одно и то же время, но это становится философским вопросом о том, происходят ли два события в одно и то же время даже в классической физике. На практике, если вы попытаетесь провести оба измерения одновременно, вы всегда обнаружите, что частица выходит либо с очень жестко ограниченным положением или импульсом, и с большой неопределенностью другой величины.

Это очень глубокий вопрос, и на его осмысление уходят годы. Я изо всех сил стараюсь ответить на него.

«Что мешает нам измерить и положение, и импульс с произвольной точностью?»

1 уровень: природа. Так работает природа.

уровень 2: частицы не являются ни волной, ни частицей. Они ведут себя не так, как все, что мы видим в повседневной жизни. Вы можете посмотреть лекцию Фейнмана на YouTube, где он объясняет эту концепцию. В некоторых экспериментах они ведут себя как частицы, а в некоторых — как волны.

уровень 3: Насколько мы понимаем, они ведут себя как поле, существующее повсюду. Как можно с бесконечной точностью измерить положение и импульс поля? Такой взгляд на частицы объясняет все, кроме гравитации.

«Всегда ли квантовая система должна изменяться при наблюдении?»

Квантовая система наблюдается в одном из состояний. Перед наблюдением система представляет собой все возможности одновременно с разным весом. Вы можете узнать больше об этом, когда будете изучать интеграл по путям.

Об этом уже говорили другие, но вот краткая версия: Вы не можете определить положение и импульс электрона одновременно по той же самой причине, по которой вы не можете определить любимый вкус электрона в мороженом, а именно по этой: У электрона нет любимый вкус мороженого. Точно так же большинство электронов большую часть времени не имеют определенного положения или определенного импульса. Вы можете заставить его иметь один из них (или, по крайней мере, очень хорошее приближение к нему), но тогда у него наверняка не будет другого.

Правильная форма принципа неопределенности состоит в том, что произведение дельты x и дельты p всегда больше или равно (hbar)/2. Среди прочего, это означает, что чем точнее мы знаем x, тем менее точно мы можем знать p.

Это не имеет ничего общего с так называемым эффектом наблюдателя; это связано с волнообразным поведением квантовых частиц.

Чтобы измерить скорость, вы измеряете время между двумя положениями. Как только вы определили скорость, какое из двух положений вы бы связали с ней одновременно? Вы не можете правильно сделать это ни с одной из позиций. Чтобы связать его со средним значением двух положений, потребуется, чтобы вы приняли постоянную скорость, но вы измерили только среднюю скорость между двумя положениями и не можете узнать, была ли она постоянной между ними.

Ваше заявление о том, что соотношение неопределенностей происходит от преобразования Фурье, довольно бойко. Физика — это не просто набор математических результатов. КМ развивалась как теория для объяснения экспериментальных наблюдений, которая не учитывала классическую механику, ньютоновскую или релятивистскую. На самом деле они указывали на то, что наша парадигма относительно природы материи неверна. В КМ каждая наблюдаемая величина представлена ​​операцией, действующей на линейном функциональном пространстве. Собственные значения этих операторов представляют собой единственные допустимые измерения этой величины, которые можно наблюдать. Например, должность ($x$), импульс ($p_x$), энергия ($E$) и т. д. — все операторы. Собственные функции этих операторов представляют «состояние», к которому система будет готова после проведения измерения.

Когда человек измеряет$x$, что, возможно, можно сделать с произвольной точностью и аккуратностью и получить конкретное значение, частица остается в собственном состоянии оператора$x$, которая является дельта-функцией Дирака. Теперь, если попытаться измерить$p_x$сразу после того, как существует равная вероятность получить любое значение$p_x$. Как только вы измерите$p_x$ваше предыдущее измерение$x$полностью разрушен. Вы совершенно неправомерно заявляете, что знаете цену$x$. Если вы попытаетесь измерить$x$опять получишь другой ответ. Это то, что описывает соотношение неопределенностей. Сказать, что это связано с точностью измерения, — отвлекающий маневр.

ОП написал:

Я понимаю, что для данной волновой функции, если$\Delta x$маленький,$\Delta p$будет большим и как это получается из преобразований Фурье. Но я не понимаю, как это мешает кому-либо проводить одновременное измерение обоих$x$и$p$с бесконечной точностью.

Кажется, это сводится к вопросу о том, что означает «одновременное измерение». Что означает одновременное измерение двух наблюдаемых$A, B$состоит в том, чтобы выполнить одно измерение в системе, получив значения$a$и$b$, так что сразу после измерения система находится в состоянии, когда значение$A$конечно$a$и стоимость$B$конечно$b$.

Другими словами, результатом измерения является то, что система находится в одновременном собственном состоянии$A$и$B$. Поскольку нет одновременных собственных состояний$x$и$p$(как уже понимает ОП), это невозможно для этой конкретной пары наблюдаемых.

Принцип неопределенности не является ограничением «измерений», а скорее выражает фундаментальное ограничение Вселенной в отношении ее информационной емкости. В грубом смысле Вселенная «выделяет», так сказать, столько-то битов каждой частице, и, таким образом, доступно только столько-то битов, которые могут в любой момент времени реализовать ее фактическое положение и импульс вместе . Это наиболее очевидно, когда написано в - и это более точная форма! - форма с участием информационной энтропии положения и импульса:

что просто говорит о том, что всегда будет энтропия — недостаток информации по сравнению с их классическим аналогом — либо в одном, либо в другом, либо в обоих.

В этом нет особого волшебства. Вселенная просто экономична и не тратит бесконечное количество битов на детализацию параметров своих частиц.

Вот почему, как упоминается в другом ответе, если вы сейчас вводите измерение , которое наиболее правильно понимается как передача информации между системой и агентом, и пытаетесь измерить их обоих с более высокой точностью, чем указано выше (около 170,18). битов вместе, если брать их относительно масштаба 1 м и 1 Н·с), вы не сможете повторить измерение сразу после этого и получить те же значения. Для получения того же значения потребуется, чтобы информация находилась в частице, чтобы ее можно было извлечь снова, но для этого нет места для хранения. Следовательно, то, что вы получаете, является мусором.

Принцип неопределенности почти не имеет ничего общего с измерением. Волновым явлениям присуще то, что если состав волн имеет определенную частоту, он имеет большую неопределенность в продолжительности, и наоборот. Технически чистая синусоида одной частоты, которая длится лишь временно, не так уж и чиста. При расширении до представления Фурье можно найти распределение плотности нескольких частот.

Частота и длительность являются сопряженными величинами волны. То же самое с волновым числом и длиной волны.

Принцип де Бройля позволяет нам связать длину волны с материальной частицей на основе ее импульса. Классическая механика устанавливает связь между длиной волны и импульсом световых волн.

Вместе мы получаем, что «Волны Материи» имеют импульс и положение как сопряженные величины. Частица с узкой полосой импульсов должна иметь широкое распространение в пространстве. Борновская интерпретация корпускулярной волны связывает модуль ее значения с вероятностью нахождения в этом положении.

Неопределенность положения — это стандартное отклонение положения, определяемое его волновой функцией. Обратное преобразование Фурье — это волновая функция в импульсном пространстве.

Затем можно доказать, что наличие определенного положения, т. е. высокая концентрация вероятности того, что она находится около определенной точки, требует, чтобы у нас была широкая концентрация импульсов, то есть чтобы частица имела вероятность находиться в нескольких состояниях импульса, которые находятся далеко друг от друга.

Все сводится к внутренней природе волн, а волны связаны с импульсом и положением.

Это проявляется через измерения различными способами.

Так случилось, что принцип неопределенности говорит нам, что мы не можем одновременно знать с произвольной точностью любые две компоненты спинового углового момента квантовой частицы, имеющие спин 1/2.

Мера$L_x$и мы могли бы получить$\hbar/2$. Измерьте еще кучу раз, и вы получите тот же ответ, повторяя. Теперь измерьте$L_x$и предположим, что вы получаете$\hbar/2$, затем измерьте$L_y$. Шанс получить любое из двух допустимых значений составляет всего 50/50. Мера$L_x$опять же, у вас есть только 50/50 шанс еще раз получить$\hbar/2$.

В квантовой механике находиться в определенном состоянии$L_x$обязательно находиться в нескольких состояниях$L_y$или$L_z$. Определенный ответ можно получить только в том случае, если частица находится в чистом состоянии квантовой наблюдаемой.

В более сложной квантовой системе обнаруживается, что существуют только определенные разрешенные квантовые состояния. Измерение даст только определенные конкретные результаты, независимо от того, как измеряется кинематическая величина. Мы наблюдаем действие принципа неопределенности только тогда, когда делаем наблюдения, т. е. выполняем измерения, но поведение указывает на фундаментальные свойства системы, а не измерительного прибора.

Как неспециалист, я продумываю этот путь, не обращаясь к квантовому миру, а просто определяя «положение» и «скорость».

• Если вы хотите измерить импульс, вам нужно измерить скорость.
• Если вы хотите измерить скорость, вам нужно измерить расстояние и время, затраченное на это расстояние.
• Чтобы измерить расстояние, вам нужно измерить 2 позиции.
• Если вы измеряете 2 позиции, то какая из них является «позицией» объекта?

Я представляю себе эту задачу так же, как смотрю в бинокль на движущуюся перпендикулярно машину. Если вы когда-нибудь пробовали это, вы обнаружите, что вам нужно постоянно перемещать бинокль, чтобы следовать за движущейся машиной. Затем кто-то спрашивает вас: «Где это сейчас?»

Я думаю, если вы сможете определить точный формат волновой функции в любом$x$или$p$домен (вы, конечно, можете его рассчитать) и считаете, что это квантовое состояние является реальным описанием его положения и импульса, тогда вы знаете и то, и другое. Просто сказать, что вы «точно знаете положение частицы», обычно означает, что волновая функция вынуждена (т. е. коллапсирована) в очень узкий пик в$x$области, что подразумевает широкую волновую функцию в$p$домен (или наоборот). Таким образом, все сводится к семантике «точно знать».

Для волны$\Delta \nu \Delta t$и$\Delta k \Delta x$ограничены быть больше некоторой функции амплитуды. Это справедливо для звука, света, волн на воде и т. д. В случае волновой функции Шредингера амплитуда не может быть произвольно малой, поскольку волна должна быть нормирована на 1. Из-за этого существует минимальное значение$\hbar/2$.

Как только вы это поймете, возникнет вопрос: «Зачем нам использовать квантовую механику?». На это ответ заключается в том, что пока он точен на 100%. Почему это никто не знает.