Является ли ∣1 ⟩∣1 ⟩∣1 \rangle злоупотреблением обозначениями?

Обозначение$\lvert \rangle$подразумевает, что$\lvert \text{anything here you want to put here} \rangle$является вектором в гильбертовом пространстве.

Если у вас есть волновая функция$\psi(x)$, то вы часто обозначаете абстрактный вектор (вместо конкретной реализации в базисе типа$\psi(x)$) представляет собой$\lvert \psi \rangle$.

Если у вас есть только двумерное пространство, в котором живут спиновые операторы, то вы обозначаете два собственных состояния одного из них через$\lvert \uparrow \rangle$и$\lvert \downarrow \rangle$.

Что бы вы ни поставили между$\lvert$и$\rangle$это просто метка, которая должна однозначно идентифицировать вектор$\lvert \text{something} \rangle$должно быть.

Они говорят, что$|3\rangle$представляет третье энергетическое собственное состояние осциллятора. Итак, он заменяет что-то вроде$\psi_3$.

Письмо$|3\rangle$требует контекста - вам придется объяснить, что вы собираетесь нумеровать n-е энергетическое собственное состояние гармонического осциллятора как$|n\rangle$прежде чем использовать это обозначение. Это не злоупотребление обозначениями, это просто не очень информативно.

Вы также можете использовать это обозначение - n-е энергетическое собственное состояние гармонического осциллятора равно$|N_{energy}^{harm.~osc.} = 3\rangle$, но было бы довольно утомительно писать.

Что означает число 3 в данном случае?

В этом случае символ «3» является удобной описательной меткой для состояния, в котором присутствуют три кванта.

Часто собственное состояние помечается соответствующим собственным значением.

В случае гармонического осциллятора числовой оператор коммутирует с энергетическим оператором (гамильтонианом), поэтому числовое собственное состояние также является энергетическим собственным состоянием.

Таким образом, состояние с наличием трех квантов удовлетворяет

$$\hat N |3\rangle = 3\,|3\rangle$$

Но он также удовлетворяет

$$\hat H |3\rangle = (3 + \frac{1}{2})\hbar \omega\, |3\rangle = \frac{7}{2} \hbar \omega\,|3\rangle$$

Таким образом, мы были бы вправе обозначить это состояние как

$$|\frac{7}{2} \hbar \omega\rangle$$

хотя это не типично.

Это просто ярлык. Более традиционные обозначения используют индексы для той же цели, но последние становятся громоздкими, если вам нужны более сложные квалификаторы.

Одним из конкретных приложений является маркировка состояний по номеру занятия (см. второе квантование ).

Во вводной квантовой механике всегда говорят, что$∣ \rangle$есть не что иное, как обозначение. Например, мы можем обозначить состояние$\vec \psi$как$∣\psi \rangle$. Другими словами, стрелочка превратилась в кет.

В евклидовом$n$-пространство, если у меня есть вектор$\mathbf{v}$, я могу разложить его по некоторому ортонормированному базису$\{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_n\}$:

$$\mathbf{v} = \sum_k \mathbf{e}_k(\mathbf{e}_k\cdot\mathbf{v})\text{,}$$ где числа $(\mathbf{e}_k\cdot\mathbf{v})$являются компонентами _ $\mathbf{v}$по заданному основанию. Если вместо $\mathbf{e}_k$, Я пишу $|k\rangle$и используйте обозначение скобок для скалярного произведения, это превращается в $$|v\rangle = \sum_k |k\rangle\langle k|v\rangle\text{.}$$ Так что да, это просто обозначения, но не в смысле "стрелочки превратить в кеты".

Может ли кто-нибудь прояснить, что значит для скаляра быть в кет?

Как правило, это просто метка, хотя обычно значение более конкретное: это означает, что у нас есть базис, индексированный скалярами, и мы выбираем тот, который соответствует конкретному скаляру.

В типичном случае мы говорим о какой-то конкретной наблюдаемой и помечаем ее собственные состояния соответствующими собственными значениями... что именно и происходит в вашей цитате (за исключением небольшого сдвига): собственные состояния энергии образуют ортонормированный базис, и мы помечаем векторы в этой основе.

Если подумать, что такое волновая функция$\psi(x)$означает (предположим одно измерение), тогда вы поймете, что это на самом деле представление состояния в определенном базисе, базисе положения:

$$\psi(x) = \langle x|\psi\rangle\text{,}$$ где $|x\rangle$означает состояние определенного положения $x$. Точно то же самое с базисом, проиндексированным скалярами, соответствующими положению, и это подразумевается при каждом использовании одномерной волновой функции. Так что мы также можем написать $$|\psi\rangle = \int |x\rangle\langle x|\psi\rangle\,\mathrm{d}x\text{,}$$ и аналогично для других наблюдаемых, хотя мы должны остерегаться вырождения.

Представляя третье возбужденное энергетическое состояние символом$\left\vert 3 \right\rangle$является одновременно (i) установленным соглашением в квантовой механике и (ii) явным образом определено в вашей книге. Использование чисел в качестве меток однозначно в данном контексте, поэтому нет, я бы не назвал это злоупотреблением обозначениями.

Что касается вашего комментария к нотации$\vec 3$не имеет смысла: хотя это и нетрадиционно, не было бы ничего плохого в определении такой нотации, если бы вы захотели. Если бы учебник по линейной алгебре решил назвать декартовы единичные векторы$\vec 1 \equiv (1,0,0)$,$\vec 2 \equiv (0,1,0)$,$\vec 3 \equiv (0,0,1)$вместо$\hat{\mathbf x}$,$\hat{\mathbf y}$,$\hat{\mathbf z}$или$\hat{\mathbf e}_x$,$\hat{\mathbf e}_y$,$\hat{\mathbf e}_z$, то ничего существенного не изменится. Пока вы явно определяете свою нотацию , вы можете выразить саму математику в любой нотации, которую вы предпочитаете.

С учетом сказанного, я лично предпочитаю более подробные обозначения$\left\vert n=3 \right\rangle$для кет-векторов (по крайней мере, в окончательных результатах), поскольку в нем особо указано, что это квантовое число энергии$n$что равно трем. Это позволяет избежать путаницы с аналогичными обозначениями собственных состояний импульса.$\left\vert p\right\rangle$, позиционные собственные состояния$\left\vert x \right\rangle$, и так далее. Он также хорошо обобщается на системы с большим количеством квантовых чисел, поскольку позволяет легко различать разные представления одного и того же пространства состояний (например,$\left\vert j_1, j_2, m_1, m_2 \right\rangle$и$\left\vert j_1, j_2, j, m\right\rangle$для углового момента составной системы). В литературе есть и другие условности; например, некоторые авторы используют обозначение$\left\vert \psi_3 \right\rangle$или$\left\vert \phi_3 \right\rangle$для третьего возбужденного энергетического состояния.