Как определить орбитальный угловой момент в других измерениях, кроме трех?

В классической механике с 3 пространственными измерениями орбитальный угловой момент определяется как

л знак равно р × п .

В релятивистской механике у нас есть 4-векторы Икс мю а также п мю , но перекрестный продукт определен только для трех измерений. Итак, как определить орбитальный угловой момент, например, в специальной теории относительности в терминах 4-векторов? Или вообще в г Габаритные размеры?

В классической релятивистской теории поля есть объект, называемый вектором Паули-Лубански, который сводится к обычному трехмерному угловому моменту в системе покоя системы (к сожалению, Google для этого термина не нашел ни одной элементарной веб-страницы). Существует также обобщенный тензор углового момента (3-го ранга), который строится с использованием симметричного тензора энергии-импульса (2-го ранга). Возможна явная лоренц-инвариантность.
очень интересно: « Релятивистский угловой момент» Ника Меникуччи, 2001 г. «Его отношение к его 3-вектору ... результирующее следствие равномерного движения центроида ... наиболее поразительным является невозможность сжатия системы частиц до бесконечно малого размера, что требует новых мысли о том, что такое «точечная частица со спином» на самом деле . Были обсуждены вектор спина и вектор Паули-Лубански, была объяснена и рассчитана прецессия Томаса, а также были исследованы два «парадокса», связанные с крутящим моментом и угловым моментом ».
@genneth Я нашел объяснение Википедии «Угловой момент - это заряд Нётер в двух формах, связанный с вращательной инвариантностью», не очень полезным. Поэтому я добавил в статью в Википедии определение углового момента как антисимметричного тензора второго порядка, как объяснил Любош.
хорошая вещь. Ответ Любоша действительно точен.

Ответы (1)

Уважаемый asmaier, вы не должны смотреть л → знак равно Икс → × п → как первичное «определение» величины, а скорее как нетривиальный результат вычисления.

Угловой момент определяется как величина, которая сохраняется из-за вращательной симметрии, и это определение является полностью общим, независимо от того, являются ли физические законы квантовыми, релятивистскими, обоими или никакими, и являются ли они механикой или теорией поля.

Чтобы получить сохраняющийся заряд, можно следовать процедуре Нётер, которая справедлива для любых пар симметрии и закона сохранения:

http://en.wikipedia.org/wiki/Noether_charge

В частности, угловой момент без проблем можно оценить в теории относительности, когда фон осесимметричен. Тот факт, что вы пишете л → поскольку вектор - это просто бухгалтерское устройство для запоминания трех компонентов. Более естественно, даже вне относительности, вы должны представить

л я Дж знак равно Икс я п Дж − Икс Дж п я
то есть л я Дж — антисимметричный тензор с двумя индексами. Такой тензор или 2-форма может быть отображена на 3-вектор через л я Дж знак равно ϵ я Дж к л к но это не обязательно. А в относительности и не должно. Таким образом, в теории относительности можно получить угловой момент л мю ν который содержит 3 обычных компонента у г , г Икс , Икс у (известный как Икс , у , г компоненты л → ), а также 3 дополнительных компонента т Икс , т у , т г связанные с импульсами Лоренца, которые что-то знают о сохранении скорости центра масс.

Кстати, генерал Икс × п Ansatz не получает никаких дополнительных «гамм» или других поправок на высоких скоростях. Это потому, что вы можете представить, что это генератор вращений, а вращения - это переводы (генерируемые п → ), которые линейно зависят от положения Икс . Таким образом, формула остается практически неизменной. В типичных искривленных фонах, которые все еще сохраняют угловой момент, другие непространственные компоненты релятивистского тензора углового момента обычно не сохраняются, потому что фон не может быть лоренцево-буст-симметричным в тот же момент.

Кроме того, все асимптотически плоские пространства-времени сохраняют ПОЛНЫЙ угловой момент л я знак равно ∮ г 2 Икс К а б р а е я б , куда е я б - диада поверхности на бесконечности, и К а б является внешней кривизной 3-поверхности в 4-пространстве-времени, а интеграл находится на пересечении 3+1 среза и конформной пространственноподобной бесконечности. В этих пространствах-временях просто не будет какого-либо общего, координатно-инвариантного локального течения углового момента.
Старая страница, но .. Глядя на л я Дж знак равно Икс я п Дж − Икс Дж п я Я замечаю, что Икс а также п являются двойственными объектами, для которых можно было бы ожидать сокращения, как в п знак равно Ф ⋅ в ( Ф знак равно п ˙ , в знак равно Икс ˙ ) а не внешний продукт как здесь? Например в я Ф Дж − в Дж Ф я ничего не значит?
Любые два 3-вектора имеют некоторое перекрестное произведение. Что у тебя с этим не так? Внутреннее произведение x,p тоже может что-то означать — это порождение растяжений, — но генераторы вращений — это векторное произведение. Перекрестное произведение силы и скорости также может иметь некоторое значение в физике — во всяком случае, вы наверняка можете его вычислить или определить, не так ли? Как вы думаете, почему или в каком смысле четко определенное перекрестное произведение двух векторов «ничего не значит»?
л можно кратко выразить как произведение клина Икс ∧ п . Произведение клина — красивая математическая концепция, которую следует учить чаще. Я написал соответствующий ответ об этом здесь .
Как определить орбитальный угловой момент в других измерениях, кроме трех?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v