Почему оператор подъема и опускания не влияет на полный угловой момент?

Мои заметки определяют:

$$L_{\pm} = L_{x} \pm i L_{y}$$

и заявляет:

$$[L_{z},L_{\pm}] = \pm \hbar L_{\pm}$$

Меня это устраивает, так как легко показать результат с помощью какой-то уродливой алгебры.

Затем он говорит:

Поскольку каждая компонента углового момента коммутирует с$L^2$мы можем сделать вывод, что действие$L_±$на$|a, b>$не может повлиять на значение а, относящееся к величине углового момента.

Я рад подключить вещи, чтобы доказать это, но я хочу посмотреть, как это сделать, если это возможно

Я это понимаю $L^2$коммутирует с $L_\pm$потому что $L^2$коммутирует с физическим лицом $L_x$и $L_y$которые составляют $L_\pm$, но я не понимаю, почему это означает, что это не может повлиять на величину.

Два коммутирующих оператора могут быть известны одновременно, но это не помогает, потому что лестничный оператор не является эрмитовым, а значит, не является наблюдаемым.

Любая помощь приветствуется!

РЕДАКТИРОВАТЬ: понял.

$$[L^2 , L_i] = 0$$ так $$L^2 ( L_\pm | a, b > ) = L_\pm (L^2 |a, b>) = a L_\pm |a, b>$$

Забыл фундаментальное свойство, что коммутирующие операторы... коммутируют.