Как правильно вычислить функциональную производную?

Когда-то хорошим способом вычисления функциональных производных было использование концепции производной Гато следующим образом:

$$\frac{d}{d\epsilon}S[\phi+\epsilon \eta]\bigg|_{\epsilon=0} = \int d^4x\frac{\delta S}{\delta \phi} \eta$$

В твоем случае,

$$S[\phi+\epsilon \eta]= \int d^4x \ \bigg\{\frac{1}{2}\big((\partial \phi)^2 + 2\epsilon (\partial_\mu\phi)(\partial^\mu\eta) + \epsilon^2(\partial \eta)^2\big)$$ $$+ \frac{1}{2}m^2\big(\phi^2+2\epsilon \eta\phi+\epsilon^2\eta^2\big)+ V(\phi+\epsilon \eta)- J(\phi+\epsilon\eta)\bigg\}$$ Дифференциация и установка$\epsilon$до нуля $$\frac{d}{d\epsilon}S[\phi+\epsilon\eta]\bigg|_{\epsilon=0} = \int d^4x \bigg\{(\partial_\mu\phi)(\partial^\mu\eta) + m^2\phi \eta + V'(\phi)\eta - J\eta\bigg\}$$ Мы можем привести это к желаемой форме, интегрируя по частям, что дает $$\frac{d}{d\epsilon}S[\phi+\epsilon\eta]\bigg|_{\epsilon=0} = \int d^4x\bigg\{-\partial^2\phi + m^2\phi + V'(\phi) - J\bigg\} \eta$$ Таким образом, мы можем прочитать $$\frac{\delta S}{\delta \phi} = -\partial^2\phi + m^2 \phi+ V'(\phi) - J$$

Вот второй способ увидеть правильный результат взятия функциональной производной пространственно-временной производной поля, который, я надеюсь, будет полезен.

Напомним, что определение функциональной производной

$$\frac{\delta\phi(y)}{\delta\phi(x)}=\delta(y-x) .$$ Вы знаете, что дельты Дирака — это распределения. То есть вы всегда должны думать о том, что они живут под интегралом с некоторой тестовой функцией. Таким образом, приведенное выше определение действительно следует рассматривать как $$\frac{\delta}{\delta\phi(x)} \int \phi(y) f(y)\, dy = \int \delta(y-x) f(y)\, dy=f(x)$$ для некоторой произвольной функции$f(y)$.

Теперь предположим, что у вас есть пространственно-временная производная от$\phi$.

$$\frac{\delta}{\delta\phi(x)} \int \partial\phi(y) f(y)\, dy$$ Чтобы понять, что это значит, просто интегрируйте по частям. $$-\frac{\delta}{\delta\phi(x)} \int \phi(y)\, \partial f(y)\, dy= -\int \delta(y-x)\, \partial f(y)\, dy =-\partial f(x)$$ Но это точно определение того, как производная дельты Дирака должна действовать на произвольную тестовую функцию. Неформально можно просто интегрировать по частям обратно, чтобы получить $$-\int \delta(y-x)\, \partial f(y)\, dy = \int \partial\delta(y-x)\, f(y)\, dy .$$ Вытащив этот результат из его красивого безопасного интегрального дома, мы можем написать определение $$\frac{\delta}{\delta\phi(x)}\partial\phi(y) = \delta'(y-x).$$

Применение этого определения к вашей проблеме дает желаемый результат. Короче говоря, мы можем сказать, что функциональная производная просто «обходит» пространственно-временную производную в поле ($\delta\partial\phi=\partial\delta\phi$), так что он действует «как и следовало ожидать» на два фактора$\partial\phi$и дает вам коэффициент 2, который вам нужен.

Самый безопасный способ вычислить функциональную производную — использовать следующий рецепт:

$$\begin{equation} S[\phi + \delta \phi] = S[\phi] + \int {\rm d}^4 x \frac{\delta S}{\delta \phi}\delta \phi + O(\delta \phi^2) \end{equation}$$

Другими словами, добавьте небольшое возмущение в поле и манипулируйте действием, чтобы оно имело форму интеграла, умноженного на вариацию (игнорируя члены выше линейного порядка в вариации). Тогда часть подынтегральной функции, умножающая вариацию, является функциональной производной.

Вот как применить это в вашем примере.

Мы начнем с действия (я собираюсь включить массовый член в потенциал, так как это не имеет никакого значения для этого расчета)

$$\begin{equation} S[\phi] = \int {\rm d}^4 x \left(\frac{1}{2}(\partial \phi)^2 + V(\phi) + \phi J \right) \end{equation}$$

Затем мы добавляем в поле возмущение и сохраняем члены только первого порядка.

$$\begin{equation} S[\phi+\delta \phi] = S[\phi] + \int {\rm d}^4 x \left(\partial_\mu \phi \partial^\mu \delta \phi + \frac{\partial V}{\partial \phi}\delta \phi + \delta \phi J \right) + O(\delta \phi^2) \end{equation}$$

Затем мы интегрируем по частям кинетический член, чтобы удалить производную из вариации. Это ведет к

$$\begin{equation} S[\phi+\delta \phi] = S[\phi] + \int {\rm d}^4 x \left[\left(-\square \phi + \frac{\partial V}{\partial \phi}+ J \right) \delta \phi \right] + O(\delta \phi^2) \end{equation}$$

Сравнивая с приведенным выше определением, мы видим, что

$$\begin{equation} \frac{\delta S}{\delta \phi} = -\square \phi + \frac{\partial V}{\partial \phi} + J \end{equation}$$