Являются ли частные производные лагранжиана в различном действии функциональными производными?

Question

Являются ли частные производные лагранжиана в различном действии функциональными производными?

действие
Физика
теория поля
лагранжев формализм
вариационное исчисление
функциональные производные

ВАКУУМ

В механике частиц лагранжиан $L$ зависит от положения, скорости (и может быть явно от времени), тогда как в теории поля лагранжева плотность ${\cal L}$ точно так же (или аналогично) зависит от поля и его производных. Когда мы выводим уравнение движения Эйлера-Лагранжа, мы меняем действие,

В механике частиц

\begin{matrix} (1) & дельта С "=" \int_{т_{1}}^{т_{2}} г т (\frac{\partial л}{\partial д} дельта д + \frac{\partial л}{\partial \dot{д}} дельта \dot{д}) \end{matrix}

$\delta S=\int_{t_1}^{t_2}~\mathrm dt\left(\frac{\partial L}{\partial q}~\delta q+\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}~\delta \dot{q}\right)\tag{1}$

В теории поля

\begin{matrix} (2) & дельта С "=" \int_{о} г^{4} Икс (\frac{\partial л}{\partial ф} дельта ф + \frac{\partial л}{\partial (\partial_{мю} ф)} дельта \partial_{мю} ф) . \end{matrix}

$\delta S=\int_\sigma~\mathrm d^4x\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}~\delta \phi+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial _\mu \phi)}~\delta \partial_\mu \phi\right).\tag{2}$

Итак, лагранжиан — это функционал, он отображает функции (положение, скорость или поля и их производные) в другую функцию (или действительное число). Нравиться,

\begin{matrix} (3) & л : Ф \times Ф \to Ф; (д (т), \dot{д} (т)) \mapsto л [д (т), \dot{д} (т)] . \end{matrix}

$L:F×F→F;(q(t),\dot{q}(t))↦L[q(t),\dot{q}(t)]. \tag{3}$ Итак, мой вопрос в том, что частные производные лагранжиана относительно функций положения и скорости или полей и их производных являются функциональными производными?

Ответы (2)

Являются ли частные производные лагранжиана в различном действии функциональными производными?

Qмеханик · Answer 1

Да, ОП прав. В теоретико-полевом случае частные производные в первой формуле ОП (1) следует заменить функциональными производными

\begin{matrix} (1') & дельта С "=" \int_{т_{1}}^{т_{2}} г т (\frac{дельта л}{дельта д} дельта д + {\frac{дельта л}{дельта в} |}_{в "=" \dot{д}} дельта \dot{д}), \end{matrix}

$\delta S~=~\int_{t_1}^{t_2}\!\mathrm{d}t\left(\frac{\delta L}{\delta q}~\delta q+\left. \frac{\delta L}{\delta v}\right|_{v=\dot{q}}~\delta \dot{q}\right),\tag{1'}$

где лагранжиан

л [д (\cdot, т), в (\cdot, т); т] "=" \int г^{3} Икс л (д (Икс, т), в (Икс, т), \partial_{Икс} д (Икс, т), \partial_{Икс} в (Икс, т), \dots, т)

$L[q(\cdot,t),v(\cdot,t);t]~=\int \! \mathrm d^3x~ {\cal L}(q(x,t),v(x,t), ~\partial_x q(x,t), \partial_x v(x,t),~\ldots , t)$

является функционалом. Многоточие $\ldots$ указывает на зависимость возможных производных более высокого порядка. См. мои ответы Phys.SE здесь и здесь для получения дополнительной информации.

Женянь Ши · Answer 2

Это просто дополнение к ответу Qmechanic. Я думаю, что обозначения здесь должны быть рассмотрены. ОП может сбивать с толку лагранжиан (нормальный $L$ ) с лагранжевой плотностью ( $\mathcal{L}$ ). Формально имеем три фундаментальных соотношения:

л "=" \int л (ф (Икс, т), \dot{ф} (Икс, т), Икс, т) г^{3} Икс

$L = \displaystyle\int \mathcal{L}(\phi(x,t),\dot \phi(x,t),x,t) \mathrm d^3x$

С "=" \int г т л "=" \int г т \int л (ф (Икс, т), \dot{ф} (Икс, т), Икс, т) г^{3} Икс

$S = \displaystyle\int dt \space L = \displaystyle\int dt\int \mathcal{L}(\phi(x,t),\dot \phi(x,t),x,t) \mathrm d^3x$

\begin{matrix} (2) & дельта С "=" \int_{о} г^{4} Икс (\frac{\partial л}{\partial ф} дельта ф + \frac{\partial л}{\partial (\partial_{мю} ф)} дельта \partial_{мю} ф) . \end{matrix}

$\delta S=\displaystyle\int_\sigma~\mathrm d^4x\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}~\delta \phi+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial _\mu \phi)}~\delta \partial_\mu \phi\right).\tag{2}$ (x на самом деле означает все пространственные переменные в приведенных выше уравнениях)

Таким образом, вы бы взяли частные производные от лагранжевой плотности $\mathcal{L}$ , но возьмем функциональные производные от лагранжиана $L$ . Однако в целом:

\frac{\partial л}{\partial ф} \neq \frac{дельта л}{дельта ф}

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} \neq \frac{\delta L}{\delta \phi}$ Вывод этого неравенства см. в этом ответе SE .

Являются ли частные производные лагранжиана в различном действии функциональными производными?

ВАКУУМ

Ответы (2)

Qмеханик

Женянь Ши

Где находятся дельта-функции в уравнении Пескина и Шредера? (11,67)?

Как правильно вычислить функциональную производную?

Использовать частные или ковариантные производные при выводе уравнений теории поля?

Определение лагранжиана в (классической) теории поля

Различные определения функциональной производной

Правильный вывод уравнений Эйнштейна из действия Гильберта

Эквивалентность функциональных и частных производных

Почему Пескин и Шредер берут функциональные производные от лагранжевой плотности, если она не является функционалом?

Действительно ли лагранжиан квантового поля является «функционалом»?

Почему бюстгальтер и комплект можно менять независимо друг от друга?