Почему предел углеродного датирования составляет всего 40 000 лет?

Углерод-14 составляет около 1 части на триллион атомов углерода вокруг нас, и эта пропорция остается примерно постоянной из-за постоянного образования углерода-14 из космических лучей. Период полураспада углерода-14 составляет около 5700 лет, поэтому, если мы измерим долю С-14 в образце и обнаружим, что это половина части на триллион, т.е. половина исходного уровня, мы узнаем, что образец составляет около одного периода полураспада или 5700 лет.

Таким образом, измеряя уровень C-14, мы определяем, сколько периодов полураспада у образца и, следовательно, насколько он стар. Проблема в том, что через 40 000 лет осталось менее 1% исходного C-14, и его становится слишком сложно точно измерить. Это не фундаментальный предел, так как более точные измерения могут быть проведены еще раньше, но в какой-то момент у вас просто закончатся атомы C-14. С нашим нынешним комплектом 40-50 тысяч лет — это предел.

Нет точной даты, после которой распад углерода-14 является/не является полезным. Однако, учитывая, что период полураспада углерода-14 составляет 5730 лет, в образце возрастом 40 000 лет действительно осталось не так уж много углерода-14. Постоянная распада$\lambda = \ln 2/t_{1/2}$, поэтому доля оставшегося углерода 14 будет$\exp[-\lambda t]$, что для$t=$40 000 лет, было бы$0.79$%.

Конечно, эти небольшие следы, вероятно, можно было бы обнаружить современными методами с некоторой неопределенностью, но тогда вам придется учитывать систематические погрешности, например, связанные с современным загрязнением (воздух содержит углерод-14!). Любая небольшая неопределенность в измерениях, в количестве загрязнения (или любой другой источник небольшой ошибки, такой как флуктуации встречающегося в природе соотношения 14 и 12 С) может быть легко увеличена до огромной ошибки возраста в старой пробе с очень маленьким количество присутствующего углерода 14.

Например, предположим, что вы можете измерить соотношение 14/12 C, чтобы оно было$f \pm \delta f$(в системе единиц, где исходное соотношение должно было равняться 1). Грубо говоря, что вы делаете дальше, так это экстраполируете кривую затухания назад во времени, чтобы увидеть, как давно образец имел бы$f=1$. Таким образом

$$f = \exp[-\lambda \tau]$$ $$\ln f = -\lambda \tau$$ $$\frac{\delta f}{f} = |-\lambda \delta\tau |$$ $$\delta \tau = \frac{t_{1/2}}{\ln 2} \frac{\delta f}{f}$$

Так скажите, что ваша способность измерять$f$был ограничен$\pm 0.02$из-за потенциального загрязнения или других осложнений, то

$$\delta \tau = \frac{165}{f}\ {\rm years} \tag{1}$$

Если$f=0.5$(т.е. что-то, чему всего 5730 лет), то ваша неуверенность была бы, пожалуй, терпимой.$\pm 330$годы.

Однако, если$f=0.0079$(для 40 000 лет), то неопределенность была бы менее чем полезной.$\pm 20,800$годы.

На самом деле последний пример хуже (более асимметричен), чем тот, потому что формула (1) неверна, когда$\delta f > f$. На самом деле неопределенность согласуется с тем, что углерод-14 вообще отсутствует (и, следовательно, существует бесконечный возраст) до$f \sim 0.028$, что подразумевало бы$\tau \sim 30\,000$лет.