Является ли TdecayTdecayT_{decay} временем, которое требуется для того, чтобы некоторое количество радиоактивных ядер полностью полностью распалось\it{полностью}?

$T_{decay}$как вы определили, это разумная грубая оценка того, сколько времени потребуется, прежде чем распадется последнее ядро. Однако нельзя сказать, что именно столько времени это займет, т.к.$N_t = N_0 e^{-t/\tau}$точна только в вероятностном смысле. Кроме того, это выражение для$N_t$является точным только тогда, когда$N_t$достаточно велико, чтобы его можно было рассматривать как действительное число, а не как целое число.

Вы можете получить более точное значение для$T_{decay}$путем явной вероятностной обработки проблемы:

Учитывая, что вероятность того, что данное изначально нераспавшееся ядро$i$останется неразложившимся после периода$t$дан кем-то

$$\bar{p}_i(t)=e^{-t/\tau}\ \ ,$$ вероятность того, что все $N_0$первоначально нераспавшиеся ядра распадутся через период $t$дан кем-то $$p(t)=\prod_{i=1}^{N_0}\left[1-\bar{p}_i(t)\right]=\left ( 1-e^{-t/\tau} \right )^{N_0}\ \ .$$ Решая это выражение для $t$дает, что время, необходимое для существования вероятности $p$что все ядра распались $$T_{decay}(p)=-\tau \ln \left ( 1-p^{1/N_0}\right )\ \ .$$

Заметим, что это выражение расходится в пределе$p \to 1$, отражая тот факт, что вы никогда не можете быть на 100% уверены, что все ядра распались, независимо от того, как долго вы ждете.

Сказанное выше может быть связано со значением$T_{decay}$дано в вопросе, отметив, что

$$p\left(\tau(1+\ln N_0)\right)=\left(1-\frac{1}{e N_0}\right)^{N_0}\ \ .$$

Для больших$N_0$это приближается

$$\lim_{N_0\to\infty}p\left(\tau(1+\ln N_0)\right)=e^{-1/e}=0.692201\ \ .$$

То есть, после периода$T_{decay}$как указано в вопросе, вероятность того, что все ядра распались, составляет около 69,22%.

Согласно приведенному закону распада очень большого числа радиоактивных ядер, не существует конечного времени, пока все ядра не распадутся. Вы можете выбрать любое большое время$t$и у вас всегда будет конечное число нераспавшихся ядер. Вы не объяснили, как вы пришли к этому количеству$T_{decay}$.$T_{decay}$кажется, не имеет никакого значения.

Примечание. Закон экспоненциального распада является вероятностным законом. Ты можешь взять$N/N_0=e^{-t/\tau}$для представления вероятности в момент времени$t$что ни одно ядро ​​еще не распалось. Следовательно, даже если у вас есть только одно ядро, вы не можете дать время, пока оно не распадется!