Существует ли нестационарное уравнение Шрёдингера для атома водорода, решаемое аналитически?

Конечно есть. Вот почему мы для начала решаем не зависящую от времени версию уравнения Шредингера: потому что для любой собственной функции$\psi_0$гамильтониана с собственным значением$E$, поэтапно развившаяся комбинация

Конечно, существует понятное предубеждение против принятия стационарного состояния в качестве начального условия для TDSE (но это всего лишь человеческое предубеждение, не имеющее под собой реальной основы). Если вас это действительно беспокоит, вы можете просто взять нетривиальную линейную комбинацию, например,

$$\psi(\mathbf r,t) = \frac{\psi_{100}(\mathbf r,t) + \psi_{210}(\mathbf r,t)}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2\pi a_0^3}} e^{-iE_{100}t/\hbar} \left( e^{-r/a_0} + e^{-i\omega t} \frac{z}{a_0} \frac{ e^{-r/2a_0} }{ 4\sqrt{2} } \right) ,$$ и это переходит непосредственно в осциллирующую плотность: $$|\psi(\mathbf r,t)|^2 = \frac{1}{2\pi a_0^3} \left[ e^{-2r/a_0} + \frac{z^2}{a_0^2} \frac{ e^{-r/a_0} }{ 32 } + z \cos(\omega t) \, \frac{e^{-3r/2a_0}}{2\sqrt{2}a_0} \right] .$$

Делая срез через$x,z$плоскости эта плотность выглядит следующим образом:

Эта комбинация дает вам явное аналитическое решение уравнения Шрёдингера, зависящего от времени. Теперь, опять же, понятно отбросить это как «ненастоящий волновой пакет», отчасти потому, что с некоторых точек зрения это может показаться «слишком простым», но все это человеческие предрассудки с очень небольшой поддержкой четко определенных и действительно осмысленные математические критерии начальных условий или соответствующего решения. Это настоящий электронный волновой пакет, движущийся под действием ядра с точечным зарядом.

Что у вас есть , так это явное знание собственных значений и собственных векторов (также для непрерывного спектра). Разлагая исходный волновой пакет с точки зрения собственных векторов, вы затем получаете его значение для более поздних моментов времени в виде суммы (или интеграла для непрерывного спектра) с добавленными весовыми коэффициентами exp[-i$\lambda$т], где$\lambda$является собственным значением, связанным с соответствующим собственным вектором.

Решение начальной задачи можно записать в виде интеграла от начальной функции$\psi_0$умноженный на пропагатор Шр. уравнение. В зависимости от функции$\psi_0$, интеграл может быть или не быть вычислимым в терминах простых функций. Я не знаю ни одной начальной функции$\psi_0$и потенциал$A(t)$которое допускало бы простое точное решение; уравнение с зависящим от времени членом трудно решить. Кажется, что более полезным способом является поиск решения с помощью компьютера. Настоящая проблема, я думаю, в другом - как нам найти подходящую функцию$\psi_0$описать реальные атомы? Часто используется первая собственная функция гамильтониана, но я не думаю, что это особенно мотивировано.