Почему при выводе уравнения Дирака можно предположить матрицы αiαi\alpha^i и ββ\beta?

При выводе уравнения Дирака обычно предполагают, что можно написать

Е "=" α ⋅ п + β м .

Затем делается вывод, что для того, чтобы иметь Е 2 "=" п 2 + м 2 необходимо, чтобы:

1 2 ( α я α Дж + α Дж α я ) "=" дельта я Дж α я β + β α я "=" 0 β 2 "=" я ,

После этого обычно говорят, что «из-за того α я и β должны быть матрицы. Это действительно странно, ИМХО, по следующим причинам:

  1. Если α и β матрицы, Е является матрицей, но мы знаем, что Е должен быть числом.

  2. Кроме того, если α я матрицы, α является вектором матриц и мне непонятно, что α ⋅ п было бы.

Я действительно не понимаю этого рассуждения. Что стоит за всем этим? Почему мы можем предположить α я и β матрицы, когда Е это число? Как понять и прочувствовать все это?

Часто физики ленивы и пишут Е как число, когда они означают Е я , где я обозначает единичную матрицу соответствующей размерности.
Это не лень, это просто естественная умная нотация. Объекты с обеих сторон являются операторами, а умножение на Е 1 то же, что и умножение на Е .

Ответы (1)

1) Проблема в том, что ваше первое уравнение должно быть

ЧАС "=" α ⋅ п + β м
с ЧАС гамильтониан вместо Е . Теперь энергии являются собственными значениями ЧАС , то есть собственные значения матрицы. Поскольку собственные значения - это просто числа, все работает отлично.
ЧАС матрица. Е собственное значение  ЧАС , то есть число.

2) α ⋅ п является сокращенным обозначением для α Икс п Икс + α у п у + α г п г , то есть сумма трех матриц. В результате 4 × 4 матрица, то есть α ⋅ п является матрицей.

Почему при выводе уравнения Дирака можно предположить матрицы αiαi\alpha^i и ββ\beta?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v