Почему приблизительный тензор энергии импульса напряжения гравитационной волны не равен 0?

Обработка этого в разделе 35.7 MTW говорит, что они только представляют результат, тогда как фактический вывод дан в разделе 35.13, с. 964. Основная идея заключается в следующем. Сначала вы берете уравнение вакуумного поля$R_{\mu\nu}=0$, и разложим его по степеням амплитуды волны$A$. Они утверждают, что термин, линейный по$A$должно исчезнуть, потому что любое влияние гравитационных волн на кривизну фона должно быть эффектом второго порядка. Поворот рядом с$A^2$термин, они разбивают его на колеблющуюся часть и гладкий фон. Приравняв их сумму к нулю, мы получим что-то похожее на обычные уравнения поля Эйнштейна для фона, с волновым членом, интерпретируемым как источник, т. е. как эффективная энергия напряжения.

[EDIT] В комментарии ОП спрашивает:

Спасибо! Но как это относится к моему вопросу? Разве это не означало бы, что гравитационная волна, распространяющаяся в вакууме, не несет энергии/импульса?

Локально (т. е. в любом эксперименте на масштабах меньше длины волны) энергии-импульса нет, потому что тензор энергии-импульса равен нулю. Но в ОТО неверно, что можно просто проинтегрировать тензор энергии-импульса по какому-то объему и внутри найти полную энергию-импульс. Вот почему, например, мы говорим, что черная дыра Шварцшильда имеет массу, хотя тензор энергии-импульса везде равен нулю. Интеграция тензора с рангом>0 завершается неудачей из-за неоднозначности, вызванной зависимостью от пути параллельного транспорта.

Предыдущий ответ содержит несколько правильных утверждений, но не дает четкого ответа на вопрос ИМО, так что вот.

В уравнении

$G^{\rm B}_{\mu\nu}$это не весь тензор Эйнштейна, это только его часть, но это самая большая часть. В случае линеаризованной (слабого поля) теории это член первого порядка. В вакууме мы действительно имеем, что$T^{\text{other fields}}_{\mu \nu} = 0$. Однако тогда у нас нет$G^{\rm B}_{\mu\nu} = 0.$Скорее, у нас есть$G^{\rm B}_{\mu\nu} + G^\text{the rest}_{\mu\nu} = 0$где второй член — это остаток тензора Эйнштейна. Именно этот член был перенесен в другую часть уравнения и призван играть роль «тензора энергии напряжения».$T^{GW}_{\mu\nu}$.

Это ответ на вопрос. Также полезно отметить, почему волны обрабатываются таким образом. Логика заключается в том, что уравнение поля Эйнштейна решает эти проблемы через свою нелинейность довольно непрозрачным образом, поэтому мы вводим способ прояснить, что происходит. Здесь мы распаковываем это нелинейное поведение, чтобы привлечь внимание к как гравитационное поле может заставить материю поглощать или отдавать энергию.$T^{GW}_{\mu\nu}$определяется так, чтобы соответствовать потокам энергии и импульса, приобретаемым и теряемым веществом в результате его гравитационных взаимодействий.

Пространство не пусто, если есть гравитационная волна, так что на самом деле$R^B_{\mu \nu} \ne 0$.