Почему ракеты такие большие?

Проблема в том, что Константин Циолковский открыл 100 лет назад: по мере увеличения скорости требуемая масса (в топливе) увеличивается экспоненциально . Это отношение , в частности, есть

$$\Delta v=v_e\ln\left(\frac{m_i}{m_f}\right)$$ куда $v_e$скорость истечения, $m_i$начальная масса и $m_f$конечная масса.

Вышеупомянутое можно переставить, чтобы получить

$$m_f=m_ie^{-\Delta v/v_e}\qquad m_i=m_fe^{\Delta v/v_e}$$ или, взяв разницу между ними, $$M_f=1-\frac{m_f}{m_i}=1-e^{-\Delta v/v_e}$$ куда $M_f$- массовая доля выхлопных газов.

Если предположить, что мы начинаем из состояния покоя, чтобы достичь скорости 11,2 км/с (т . е . космической скорости Земли ) с постоянной$v_e=4$км/с (типичная скорость для ракет НАСА), нам потребуется

$$M_f=1-e^{-11.2/4}=0.939$$ что означает, что почти 94% массы при запуске должно составлять топливо! Если у нас есть судно массой 2000 кг (размером с автомобиль), нам потребуется почти 31 000 кг топлива для корабля такого размера. Жидкое топливо имеет плотность, аналогичную воде (т. е. 1000 кг/м3) . $^3$), поэтому вам понадобится объект объемом 31,0 м $^3$держать его. Внутренняя часть нашего объекта размером с автомобиль будет около 3 м. $^3$, коэффициент 10 слишком мало!

Это означает, что нам нужен более крупный корабль, а значит, и больше топлива! И объясняет, почему это соотношение массы и скорости было названо « тиранией ракетной проблемы ».

Этим же объясняется и тот факт, что современные ракеты многоступенчатые . В попытке сократить количество необходимого топлива, как только ступень израсходует все свое топливо, она высвобождается из ракеты, и зажигается следующая ступень (делать это над сушей опасно по очевидным причинам, поэтому НАСА запускает ракеты над водой ), и масса корабля уменьшается на массу (пустой) сцены. Подробнее об этом можно узнать в этих двух постах Physics.SE:

• Почему ракеты имеют несколько ступеней?
• Почему ракеты сбрасывают топливные баки?

TL;DR: Этот ответ приводит примерно к тому же выводу, что и ответ Кайла Каноса , т. е. помимо соображений полезной нагрузки, сложность заключается в том, чтобы наполнить небольшую ракету массой топлива, превышающей массу самой ракеты. Этот ответ, однако, более строг в том, как$\Delta v$бюджет лечится.

---

Уравнение ракеты:

Рассмотрим уравнение ракеты Циолковского , которое описывает движение транспортных средств, которые движутся, выбрасывая часть своей массы с определенной скоростью. Упрощенная версия, учитывающая только (постоянную) гравитацию и тягу, приведена ниже:

$$\Delta v(t) = v_e \cdot \ln \frac{m_0}{m(t)} - g\left(\frac{m_f}{\dot m}\right)$$ куда $v_e$- эффективная скорость истечения, $m_f$- масса топлива на борту, $\dot m$- массовая скорость горения (постоянная во времени), $m_0$- начальная масса ракеты и $m(t)$- текущая масса ракеты.

Обратите внимание, что это, по сути, уравнение обмена импульсом: у вас есть конечное количество импульса, доступное от выброса топлива, которое вы должны потратить на увеличение скорости ракеты + оставшаяся топливная система, а также на преодоление гравитации (т.е. перетаскивание планеты когда-либо). так немного). Форма уравнения Циолковского, которая не учитывает это (как в другом ответе), даст вам нефизические результаты.

---

Ограниченные переменные:

Теперь, с чем мы можем поиграть в этом уравнении? Предполагая$t_{escape}$время, за которое ракета покидает гравитацию Земли:

1. $\Delta v(t_{escape})$это просто наша желаемая скорость убегания (при условии, что ракета стартует из состояния покоя), которая продиктована тем, куда мы пытаемся отправить ракету
2. $m(t_{escape})$оптимально будет масса ракеты без топлива
3. Эффективная скорость выхлопа$v_e$и скорость массового расхода$\dot m$зависят от типа доступного двигателя/топлива

Это означает, что ни одно из этих количеств не подлежит обсуждению; мы ограничены требованиями миссии и доступными технологиями.

---

Развитие связи между массой ракеты и топлива:

Все, что нам осталось, это поиграться с начальными массами ракетного топлива.$m_f$и корпус ракеты$m_r$. Подставим значения$v$а также$m$в тот момент, когда ракета покидает гравитацию, отметив, что$m_0 = m_f + m_r$:

$$\begin{align} v_{escape} & = v_e \cdot \ln \frac{m_f + m_r}{m_r} - g\left(\frac{m_f}{\dot m}\right)\\ & = v_e \cdot \ln\left(1 + \frac{m_f}{m_r}\right) - g\left(\frac{m_f}{\dot m}\right) \end{align}$$

Переставляя, имеем:

$$m_r = m_f \cdot \left(\exp\left(\frac{v_{esc} + g\left(\frac{m_f}{\dot m}\right)}{v_e}\right) -1\right)^{-1}$$

Обратите внимание, что это эффективно обеспечивает$m_r$как функция$m_f$, так как все остальные параметры фиксируются ограничениями миссии и оборудования, а также константами окружающей среды. Поскольку связь не сразу очевидна, вот сюжет$m_r$против$m_f$для выбранных значений констант:

Красным цветом показан график зависимости массы ракеты от начальной массы топлива, а синим — график отношения начальной массы топлива к общей массе. Обратите внимание, что ось синего графика начинается с 0,9 !! Это указывает на то, что независимо от того, какую массу ракеты вы выбрали, чистая начальная масса вашего транспортного средства должна почти полностью состоять из топлива.

Итак, что это значит?

Заполнить транспортное средство топливом, масса которого превышает его собственную, становится все труднее для небольших ракет, но не так сложно для гораздо более крупных ракет (подумайте о том, как объем замкнутого полого тела зависит от массы). Вот почему делать ракеты все меньше и меньше становится все труднее.

Кроме того, минимальный предел массы ракеты, которую мы можем выбрать, определяется весом полезной нагрузки, которую она должна нести, — от спутника до одного человека.

Верхний предел полезной нагрузки:

Очень интересная вещь происходит вблизи точки перегиба кривой масса ракеты – масса топлива. Перед точкой перегиба добавление большего количества топлива позволило нам поднять большую полезную нагрузку до желаемой скорости.

Однако где-то около$4 \cdot 10^6$кг массы топлива (для выбранных нами значений параметров) мы обнаруживаем, что добавление большего количества топлива начинает уменьшать полезную нагрузку, которую можно поднять! Здесь происходит то, что стоимость дополнительного топлива, необходимого для борьбы с гравитацией, начинает побеждать выгоду от высокого отношения массы топлива к массе полезной нагрузки.

Это показывает, что существует теоретический верхний предел полезной нагрузки, которую можно поднять на Землю с использованием имеющейся у нас технологии топлива. Невозможно просто продолжать увеличивать массу полезной нагрузки и топлива в равной пропорции, чтобы поднимать сколь угодно большие грузы, как можно было бы предположить, используя уравнение Циолковского без дополнительных членов для гравитации.

Рассмотрим проблему в виде отношения, каково отношение массы, используемой для подъема ракеты (топливо), к массе, окончательно выведенной на орбиту (кабина). Эта пропорция будет почти такой же в отношении меньших объектов, которые должны быть выведены на орбиту. Если вы используете то же соотношение или пропорцию для расчета необходимой массы топлива для небольшого корабля, вы обнаружите, что не можете нести даже устройство с топливом. Именно поэтому в ракетах используются ступени.

Тип используемого топлива также оказывает влияние, но это детали, требующие нового вопроса.

Потому что большинство полезных нагрузок довольно тяжелые. Я не уверен, какую полезную нагрузку вы имели в виду, я не эксперт в этом, но я думаю, что большинство запусков включают спутники, которые могут быть тяжелее, чем вы думаете, например, спутник в этом документальном фильме BBC весит 6000 кг. А согласно Википедии, миниатюрные спутники весят менее 500 кг (так что тяжелее - это нормально). И некоторые из этих миниатюрных спутников используют избыточную мощность на более крупных ракетах-носителях.

И я думаю, что меньшие ракеты будут очень сильно испытывать турбулентность нашей атмосферы. Также подумайте об относительно более высоких затратах на персонал (например, управление полетами). И я также ожидаю, что некоторые аспекты не масштабируются линейно по размеру, но это было бы просто предположением. хххххх

В основном потому, что вам нужна большая скорость, чтобы выйти в космос, и для каждой этой скорости вам нужно ускоряться. Если вам нужна высокая скорость, вам нужно будет долго разгоняться, при этом потребуется большое количество топлива. Вам также необходимо компенсировать гравитацию во время всего подъема.

Есть способы уменьшить потребность в топливе, например, при горизонтальном взлете вы набираете большую высоту, а затем запускаете, так что вы сохраняете двигатель, но вам все еще нужно много энергии для борьбы с гравитацией, а крылья не могут поднять вас очень сильно. высокий, так что не будет такой хорошей экономии топлива, и самолет все равно должен быть достаточно большим.

$E = mc^2$

Чем больше масса, тем больше энергии можно получить. И мы до сих пор не нашли топлива, которое в небольших количествах дает необходимое количество энергии. Я знаю, что вы будете думать о ядерной энергии; мы не можем поместить ядерный реактор внутри ракеты с современными технологиями, и даже если мы сможем это сделать, я не думаю, что наши существующие знания в области ядерной науки достаточны для обеспечения безаварийных реакторов на таких скоростях.