Как обсуждалось профессором Веном в контексте квантовых порядков спиновых жидкостей , PSG определяется как все преобразования, которые оставляют анзац среднего поля инвариантным, IGG — это так называемая инвариантная калибровочная группа , образованная всеми калибровочными преобразованиями, которые оставляют анзац среднего поля инвариантным, а SG обозначает обычную группу симметрии (например, решетчатую пространственную симметрию, симметрию обращения времени и т. д.), и эти группы связаны следующим образом: SG = PSG/IGG , где SG можно рассматривать как факторная группа .
Однако в математике название проективной группы обычно относят к факторгруппе , например, так называемой проективной специальной унитарной группе. , и здесь на самом деле это группа .
Итак, физически, почему мы называем PSG проективным , а не SG ? Большое спасибо.
Это зависит от того, какую группу вы считаете отправной точкой, и это зависит от контекста.
Один контекст — математический (забудьте все, что вы знаете о спинах и т. д.), где мы начинаем с векторного пространства. и естественное действие в теме. Если мы затем посмотрим на проективное векторное пространство , то действие дан кем-то . Поскольку эта группа теперь действует на проективном векторном пространстве, мы можем назвать ее проективной группой .
В физическом контексте — в случае вращательной симметрии — наша исходная группа не скорее . Как это действует на гильбертовом пространстве спина частица имеет хорошее линейное представление (на самом деле это карта идентичности, поскольку, как вы указываете, !). Однако физики не очень любят думать о проективных гильбертовых пространствах, и поэтому мы предпочитаем думать о нашей симметрии как о действии на линейное гильбертово пространство: . Однако оказывается, что лучшее, что вы можете сделать, это является проективным представлением (что означает, что структура группы соблюдается только до комплексного скаляра). Следовательно, вы можете сказать, что мы променяли проективное гильбертово пространство на проективное групповое действие . Опять же, физикам не нравится думать о проективных представлениях, поэтому вместо этого мы используем линейное представление покрывающей группы. Действительно, если сначала расширить к то он может действовать линейно на линейном пространстве .
Я уверен, вы знаете, что именно поэтому мы используем вместо , но я хотел провести рассуждения в явном виде, чтобы продемонстрировать, что наша исходная группа симметрии , но поскольку его использование индуцирует «проективность» в будущем (либо в пространстве, либо в том, как оно действует), вместо этого мы используем расширенную группу симметрии , которую мы можем назвать проективной группой симметрии нашей системы, поскольку она кодирует все проективные реализации нашей исходной группы симметрии.
В заключение: дело не в том, что одно имя лучше другого, и вы правы, замечая, что они не говорят об одном и том же, просто это зависит от контекста, когда вы помечаете ярлык «проективный». В первом случае мы называем это проективной группой, поскольку именно так исходная группа действует на проективное векторное пространство. В последнем случае мы могли бы назвать расширенную группу симметрии проективной, потому что ее (линейные) представления соответствуют всем проективным представлениям n нашей исходной группы симметрии.