Почему собственные энергетические состояния должны быть ограничены?

Не забывайте, что мы работаем в гильбертовом пространстве.$L^2(\mathbb R)$, в этом случае. Операторы$\hat A$может действовать только на элементы в$L^2(\mathbb R)$, но их домены обычно ограничиваются теми$\psi \in L^2(\mathbb R)$такой, что$\Vert A \psi \Vert^2 < \infty$а для более общих гильбертовых пространств еще и граничными условиями.

Математическая интерлюдия

Как упоминается в примечаниях, это довольно ограничительное требование. Во многих случаях оказывается чрезвычайно полезным немного расширить это понятие, рассматривая распределения на$L^2(\mathbb R)$. Дистрибутив$^\dagger$это объект, который ест элемент$L^2(\mathbb R)$и выдает комплексное число, и обычно может быть записано как

для некоторой функции$\phi$, который мы могли бы назвать ядром дистрибутива (но обычно мы небрежны и называем его просто "дистрибутивом").$\phi$"). В этом выражении$\psi$должен принадлежать$L^2(\mathbb R)$, но ограничения на$\phi$являются более свободными. Конечно,$\phi$ может быть элементом$L^2(\mathbb R)$, и в этом случае это выражение сводится к скалярному произведению$\langle \phi,\psi\rangle$, но это не всегда так; в частности,$\phi$вообще не обязательно нормализуемый. В частности, дельта-функции$^{\dagger\dagger}$ $\delta(x-x_0)$и плоские волны$e^{ikx}$являются общими ядрами дистрибутива.

Сделав это, мы можем определить действие самосопряженного оператора$\hat A$на$\phi$следующее:

Такие операторы, как наблюдаемые позиции и импульса, на самом деле не имеют собственных векторов в$L^2(\mathbb R)$, но если мы расширим их таким образом, то окажется, что они действительно имеют «обобщенные собственные векторы», которые являются распределениями (дельта-функции и плоские волны, соответственно).

Это, конечно, слишком много математики для первого знакомства с квантовой механикой. На практике это можно свести к следующему:

1. Наблюдаемые с непрерывным спектром не имеют собственных векторов в$L^2(\mathbb R)$(то есть у них нет нормируемых собственных векторов), но если мы позволим им воздействовать на распределения (которые не имеют требования нормализуемости), то они имеют обобщенные собственные векторы .
2. Чтобы эта процедура была четко определена, нам нужны определенные требования к регулярности распределений. Они не должны быть нормализуемыми, но мы должны иметь это$D_{\hat A\phi}[\psi] = D_\phi[\hat A\psi] = \lambda D_\phi[\psi]$конечно для всех$\psi$в области$\hat A$.
3. Оказывается, правильный выбор требований регулярности гамильтониана$\hat H = -\frac{d^2}{dx^2} + V(x)$— ограниченность распределения и его первая производная согласно примечаниям.

$^\dagger$В интересах полноты мы обычно рассматриваем умеренные распределения, которые действуют только на очень правильное подмножество$L^2(\mathbb R)$. См. предпоследний абзац во введении к этой статье в Википедии . Однако я чувствую, что эта деталь слишком далека от первоначального вопроса, чтобы быть необходимой.

$^{\dagger\dagger}$Как заметил ТБиссингер, дельта-функция на самом деле не является функцией. Вместо этого дельта-распределение определяется через

То есть это распределение, которое просто оценивает функцию в точке. Чтобы это выглядело как другие дистрибутивы с ядрами, мы определяем «дельта-функцию» и пишем

и просто заметьте, что$\delta(x-x_0)$является чисто формальным символом, который не следует рассматривать как функцию в обычном смысле.

Собственные состояния представляют собой резонансные модели стоячих волн. Стоячие волны возникают с границами.