Представления группы Пуанкаре

По существу по определению (согласно Вигнеру) одночастичные гильбертовы пространства элементарных частиц поддерживают унитарные сильно непрерывные неприводимые представления группы Пуанкаре.

И наоборот, любое многочастичное гильбертово пространство с фиксированным или неопределенным числом частиц, одинаковых или различимых, не может быть неприводимым под действием ассоциированного представления группы Пуанкаре.

Доказательство. Многочастичное представление - это тензорное произведение представлений в каждом факторном одночастичном подпространстве. Если$P_\mu$обозначает оператор полного четырехимпульса системы частиц, ограниченный унитарный оператор$e^{i a P_\mu P^\mu}$($a\in \mathbb R$) коммутирует со всеми унитарными операторами тензорных представлений и не пропорционален тождественному оператору (как это происходит для одночастичного пространства). В силу леммы Шура представление не может быть неприводимым.

Инвариантное замкнутое подпространство — это, очевидно, подпространство векторов состояния, где квадрат массы$M^2= P_\mu P^\mu$принимает значения (в смысле спектрального разложения) внутри фиксированного интервала$[a,b]$.