Почему средняя скорость не определяется как величина средней скорости?

Люди уже ответили на ваш вопрос с точки зрения полезности, но я просто хочу добавить, что ваши рассуждения неверны:

Скорость обычно определяется как величина (мгновенной) скорости. Таким образом, можно предположить, что средняя скорость будет определяться как величина средней скорости.

Это не так работает. Если мы имеем

[скорость] = [величина скорости]

тогда логика подсказывает, что мы должны иметь

средняя [скорость] = средняя [величина скорости]

и не

средняя [скорость] = величина [средняя скорость]

и, действительно, это то, что мы имеем.

Учитывая скорость как функцию времени, скорость как функцию времени представляет собой величину скорости в каждый момент времени. Тогда средняя скорость является средним значением этой величины, как это было бы для любой функции времени, такой как плотность или температура. Тогда вопрос о том, равна ли средняя величина скорости величине средней скорости, становится гипотезой, которую необходимо проверить. Поскольку объект может двигаться с высокой скоростью, возвращаясь в одно и то же место, и, таким образом, иметь нулевую среднюю скорость при высокой средней скорости, это показывает контрпримером, что средняя скорость, определенная так же, как и любая другая средняя скорость, на самом деле не равна величине средней скорости.

Очень часто можно обнаружить, что среднее значение некоторой функции не является функцией среднего. Например, средний$x^2$обычно не является квадратом среднего$x$.

Вы можете вычислить среднее значение вектора скорости.

Однако иногда это оказывается бесполезным. Тривиальный пример — круговое движение.

Средняя скорость полного контура при круговом движении равна$\vec{0}$, поскольку скорость сначала указывает в одном направлении, а$\pi$радианы позже он указывает на противоположный, поэтому их вклады сокращаются. Таким образом, средняя «скорость»$\vec{0}$.

Тем не менее, это не дает нам много информации. Напротив, отношение «окружности» к «прошедшему времени» дает нам фактическую «среднюю скорость».

Иногда, в любом случае, может быть полезно дать им обоим. Чем больше информации, тем лучше.

Простая причина в том, что скорость может стать отрицательной, и это повлияет на среднее значение. Самым ярким примером различия может быть маятник (или любая другая резонирующая система).

Маятник качается вперед и назад. Он следует своей траектории в одном направлении, ускоряясь, затем замедляясь до мгновенной остановки; а затем меняет направление, чтобы повторить ту же траекторию в обратном направлении.

Каждый раз маятник движется по одному и тому же пути в противоположных направлениях. Поскольку скорость имеет знак, средняя скорость при движении в одном направлении точно равна по величине и имеет противоположный знак средней скорости при движении в другом направлении. Следовательно, средняя скорость равна нулю.

Средняя скорость конечно не будет нулевой. Она будет равна величине средней скорости для одной половины траектории маятника, поскольку обе половины имеют одинаковую величину скорости.

Ошибка заключается в том, что величина скорости на самом деле не является определением, но лучше оценивается как следствие фактического определения, и любые материалы, в которых говорится, что это проблематичные учебные материалы.

Фактическое определение скорости в обоих случаях — это расстояние , пройденное за время, затраченное на его перемещение. Просто в случае мгновенной скорости абсолютное значение скорости оказывается равным скорости, потому что величина дифференциала длины дуги ($ds$) - т. е. крошечное приращение пройденного пути - такое же, как величина дифференциала перемещения ($d\mathbf{r}$), то есть вектор от начальной до текущей позиции. Математически правильное определение мгновенной скорости:

и скорость

Однако теперь (по крайней мере, для двух измерений) мы имеем это$ds = \sqrt{dx^2 + dy^2}$, но и$d\mathbf{r} = dx\ \mathbf{i} + dy\ \mathbf{j}$. Что$|d\mathbf{r}|$?

Это очень просто. «Средняя скорость» — это среднее значение скорости. В общем, среднее любой функции$f(t)$является

В случае$f(t)$скорость$s(t)$, Интеграл скорости$\int_a^b s(t)\ dt$дает общее пройденное расстояние, и$b-a$это прошедшее время, в результате чего формула, которую вы упомянули.

С другой стороны, «Средняя скорость» — это «средняя величина скорости», которая сильно отличается от «величины средней скорости». Модификаторы «средняя» и «величина» не коммутируют. Нет причин использовать один термин, когда вы на самом деле имеете в виду другой. Другими словами,

Как вы написали, эти величины разные и дают вам разную информацию, так почему вы хотите называть величину средней скорости средней скоростью?

Если вы путешествуете на автомобиле, это средняя скорость для поездки, которую вы могли бы захотеть, даже если бы начальная и конечная точки были одинаковыми.
Какой смысл говорить, что величина средней скорости равна нулю?

Это все сказано в других ответах. Но я думаю, что было бы полезно формально переформулировать вещи для другой точки зрения, возможно, новой для читателей-физиков, что требует более подробного объяснения (извинения), и поэтому я решил сделать это ответом, а не комментарием. как я изначально и предполагал.

Это действительно вопрос лингвистики, а не физики.

У вас есть две сущности/величины, представляющие интерес для вашего физического дискурса: среднее значение скорости во времени и величина средней скорости, и вам нужно назвать их обоих. Язык работает, по крайней мере, во многих системах языкового анализа, и особенно в языках программирования, которые находятся на уровне формальности, подобном физике, следующим образом (это грубое упрощение, по крайней мере, для естественного языка):

У вас есть элементарные понятия, которые выражаются различными именами или символами, которые образуют словарь (с различными категориями: имя, глагол, скаляр, функция,...). Затем у вас есть синтаксические правила (грамматика), которые вы используете для построения более крупных структур из элементарных, таких как выражения или предложения. Функциональное значение связано с синтаксическими правилами.

Тогда получение значения выражения или предложения осуществляется более или менее с учетом того, что это значение является гомоморфным образом из синтаксической области предложения в абстрактную область значений. Гомоморфизм определяется соответствием между элементами словаря с элементарными единицами, а также между синтаксическими правилами и их функциональным значением.

На самом деле это использовалось очень формальным математическим способом для определения языков программирования.

Этот гомоморфный подход, основанный на получении значения целого путем составления (в соответствии с грамматическим синтаксисом) значений частей, является сутью, на очень тривиальном примере, ответа, данного пользователем 541686 .

Сейчас люди не всегда соблюдают синтаксис (просто слушают радио или телевизор). Они также могут брать выражения и произвольно решать (когда у них есть возможность сделать это), что это значение отличается от того, которое выводит гомоморфизм. Это может даже произойти в результате эволюции в случае естественного языка. Но это только усложняет понимание вещей, возможно, делает их более подверженными ошибкам и неправильным толкованиям.

Таким образом, вы не можете решить, что такое «средняя скорость». Значение этого выражения должно быть выведено стандартным образом из функционального значения среднего, примененного к значению скорости, точно так же, как вы бы вывели среднее давление или средний вес (ну, здесь много неявного, и язык редко бывает простым).