Почему суперотбор не запрещает почти всякую суперпозицию?

Суперотбор имеет смысл не абстрактно в произвольном гильбертовом пространстве, а только в гильбертовых пространствах, структурированных введением алгебры выделенных интересующих наблюдаемых (т. е. тех, которые можно комбинировать для подготовки состояний) с предписанными правилами коммутации. Они определяют физику, которая возможна в рассматриваемом классе моделей, и сверхотбор — понятие, определяемое относительно них. (В частности, если изменяется класс соответствующих наблюдаемых, концепция суперотбора меняется вместе с ним. Расширение наблюдаемой алгебры может привести к слиянию одних секторов, но обычно создает другие.)

Типичными примерами являются универсальные обертывающие алгебры алгебр Ли или$C^*$алгебры, порожденные соответствующими группами Ли. Например, алгебры Гейзенберга и группы Гейзенберга (или Вейля) соответствуют каноническим правилам коммутации, которые лежат в основе большей части квантовой физики.

Интересующие гильбертовы пространства представляют собой (непрерывные унитарные) неприводимые пространства представления этих алгебр, алгебр Ли или групп. Эти (точнее, классы эквивалентных таких пространств представлений) называются секторами (сверхотбора) теории . Поскольку они составляют разные гильбертовы пространства, нет смысла накладывать друг на друга векторы разных секторов. Можно определить скалярный продукт прямой суммы этих гильбертовых пространств, но алгебра операторов по-прежнему отображает каждый сектор в себя, поэтому нет способа создать (физически релевантным способом) суперпозицию из чистых состояний внутри секторов.

Для конечномерных алгебр/групп Гейзенберга все непрерывные унитарные неприводимые представления эквивалентны (теорема Стоуна-фон Неймана); следовательно, для нерелятивистских теорий N-частиц не существует правил суперотбора (которые определяли бы сектора суперотбора).

Если учесть еще и спин, ситуация усложняется: смесь фермионного и бозонного состояний больше не имеет физического смысла, поскольку два вектора состояния ведут себя по-разному при повороте на 360 градусов, хотя формально они все еще определены. Никакая новая физика этого не изменит.

Для бесконечномерных алгебр/групп Гейзенберга, встречающихся в (релятивистской или нерелятивистской) квантовой теории поля, теорема Стоуна-фон Неймана больше недействительна, и существует несчетное количество неэквивалентных непрерывных унитарных неприводимых представлений, следовательно, существует несчетное количество секторов суперотбора , отличающиеся существенно разным поведением на пространственноподобной бесконечности.

В более технических терминах: наиболее интересные правила суперотбора, учитывающие сверхпроводимость, заряд, барионное число и т. д., возникают из-за невыполнимых преобразований Боголюбова, включающих пределы, настолько сингулярные, что они выводят из гильбертова пространства, представляющего вакуумный сектор. В частности, заряженные состояния имеют асимптотическую структуру, существенно отличающуюся от незаряженных, поскольку кулоновское поле дальнодействующее, и они принадлежат разным секторам суперотбора. Это общее свойство зарядов в калибровочных теориях, см. Strocchi, F. & Wightman, AS (1974). Доказательство правила суперотбора заряда в локальной релятивистской квантовой теории поля. Журнал математической физики, 15 (12), 2198-2224. Никакая новая физика этого не изменит.

При определенных условиях секторы суперотбора могут быть классифицированы; см., например, статью DHR superselection theory от nLab. DHR обозначает Доплихера, Хаага и Робертса; см., например,

• Допличер, С., и Робертс, Дж. Э. (1990). Почему существует алгебра поля с компактной калибровочной группой, описывающая структуру суперотбора в физике элементарных частиц. Сообщения по математической физике, 131(1), 51-107.

Правила суперотбора не имеют ничего общего с законами сохранения. Несмотря на сохранение импульса, состояния с разным импульсом могут накладываться друг на друга, поскольку преобразования Лоренца, переводящие одно состояние импульса в другое, унитарны и, следовательно, определены в одном и том же пространстве представления.

Я думаю, что ОП приближается к ответу на свой вопрос, предполагая, что «правила суперотбора - это просто функции наших текущих технологий». На мой взгляд, ответ — это просто более точная формулировка этого предположения: правила суперотбора отражают наши представления о природе возможных физических наблюдаемых во Вселенной, ограниченные текущими экспериментальными исследованиями и теоретическими моделями.

Чтобы объяснить это, мы сначала дадим математическое определение секторов суперотбора:

Определение 1. Рассмотрим гильбертово пространство . $H$и набор подпространств$\{H_i\}$так что:$H = \oplus_{i} H_i$. Мы говорим, что$\{H_i\}$являются секторами суперселекции в$H$если$\langle \psi_i| \mathcal{O}|\psi_j\rangle = 0$ $\forall$ $\psi_{i,j} \in H_{i,j}$,$i \neq j$,$\mathcal{O} \in O_{phy}$, куда$O_{phy}$это набор всех физических наблюдаемых $\mathcal{O}$действующий в гильбертовом пространстве$H$.

В этом определении априори должны существовать два важных понятия:

• Мы должны указать гильбертово пространство . Для догматического решения любой квантово-механической проблемы нам потребуется гильбертово пространство, содержащее состояния всей вселенной, чтобы гарантировать унитарную эволюцию. Однако на практике мы часто предполагаем достаточно слабые взаимодействия между тестовой системой$A$и остальная вселенная$B$, настолько слабый, что мы аппроксимируем$A$как изолированные (т.$H = H_A \otimes H_B$). Таким образом, мы можем приблизительно получить унитарную эволюцию, ограничившись подпространством тестовой системы$H_A$для всех взаимодействий, действующих только на$H_A$. Эта свобода выбора гильбертовых пространств придает некоторую двусмысленность смыслу суперотбора. Потому что возможно, что$\{H_i\}$определить секторы суперселекции в$H_A$, в то время как$\{H_i \otimes H_B\}$не определяет секторы супервыбора в$H_A \otimes H_B = H$. Позже мы увидим примеры, иллюстрирующие это.

• Мы должны определить физические наблюдаемые . Технически все самосопряженные операторы на$H$должны быть допустимыми кандидатами. Но, основываясь на современном понимании фундаментальной физики, мы считаем, что некоторые самосопряженные операторы невозможно измерить, а определенные переходы между состояниями невозможно спроектировать. Таким образом, правила суперотбора сегодня — это практические инструменты, которые можно обновлять по мере того, как мы узнаем больше о мире и находим больше физических наблюдаемых объектов, которые, возможно, нарушают существующие правила.

Теперь мы рассмотрим два примера, чтобы прояснить, почему эти два приведенных выше пункта могут вызвать путаницу, и постулировать более полное определение правил суперотбора.

Пример 1. Чтобы проиллюстрировать важность первого пункта, рассмотрим пример OP со спинами. Предположим, мы смотрим на эксперимент Штерна-Герлаха и определяем$|\uparrow \rangle$и$|\downarrow\rangle$как собственные состояния$\sigma_z$оператор. Возьмем гильбертово пространство$H_A$охватываемый этими двумя состояниями, и постулируем, что единственные физические наблюдаемые на$H_A$находятся$f(\sigma_z)$куда$f$— некоторая произвольная аналитическая функция. Теперь вы можете легко проверить, что$|\uparrow \rangle$и$|\downarrow\rangle$определить секторы супервыбора на$H_A$один!

Но помните, что у нас есть свобода выбора гильбертова пространства! Предположим теперь, что мы расширили наше гильбертово пространство, включив в него вторую частицу$B$. Хотя мы ограничили физические наблюдаемые на$H_A$быть$f(\sigma_z)$, нам не нужно ограничивать смешивание наблюдаемых$H_A$и$H_B$. Даже если мы сохраняем сохранение полного углового момента$\sigma_z(A) + \sigma_z(B)$, мы вполне можем нарушить сохранение$\sigma_z(A)$или$\sigma_z(B)$отдельно, тем самым смешивая$\{|\uparrow\rangle \otimes H_B\}$и$\{|\downarrow \rangle \otimes H_B\}$. Это будет означать$\{|\uparrow\rangle \otimes H_B\}$и$\{|\downarrow \rangle \otimes H_B\}$не определять секторы супервыборки на$H_A \otimes H_B$, как указано в первом пункте выше. По духу это похоже на рассмотрение OP$p(particle) + p(recoil)$на гильбертовом пространстве$H_{\text{particle}} \otimes H_{\text{apparatus}}$.

Пример 2. Чтобы проиллюстрировать второй пункт, мы рассматриваем спиновую систему OP без добавления частиц.$B$. Вместо этого мы расширяем набор физических наблюдаемых, добавляя$\sigma_x$. В частности, мы разрабатываем гамильтониан$H= -\sigma_x$положив спин в единицу поперечного магнитного поля (как обычно, мы предполагаем взаимодействия между источником магнитного поля и частицей$A$быть достаточно слабым, чтобы мы могли выделить$H_A$). Предположим, мы запускаем систему в$|\downarrow \rangle$в$t=0$, затем в$t= \pi/2$, мы полностью переворачиваем два сектора:

$$e^{-i Ht} |\downarrow\rangle = e^{i \pi \sigma_x/2} |\downarrow\rangle = i \sigma_x |\downarrow\rangle = i|\uparrow \rangle$$ Опять же, как рекламировалось, введение большего количества возможных физических наблюдаемых (в данном случае введение $\sigma_x$в гамильтониан) нарушает закон сохранения углового момента и, следовательно, секторов суперотбора.

Пример 3 : еще один пример, иллюстрирующий второй пункт списка. Давайте еще немного отвлечемся от реальности и представим для развлечения, что КМ была открыта в 18 веке, когда мы верили в симметрию Галилея. Для изучения состояний в КМ мы нашли проективное представление алгебры Галилея с$\{K_i\}$генерация галилеевых бустеров и$\{P_i\}$создание переводов. При составлении бустов и трансляций мы обнаружили, что для состояния с массой$M$:

$$e^{-i \vec K \cdot \vec v} e^{-i \vec P \cdot \vec a} = e^{i M \vec a \cdot \vec v/2} e^{-i (\vec K \cdot \vec v + \vec P \cdot \vec a)}$$ Это означает, что суперпозиция состояний с разными массами нарушила бы галилеевскую симметрию, священный закон физики того времени. Чтобы избежать этой проблемы, мы бы придумали правило суперотбора, запрещающее переходы между состояниями с разными массами. И это правило выдержало бы проверку экспериментами и теоретическими моделями вплоть до введения теории относительности Эйнштейна (которая эффективно модифицировала гамильтониан, одну из физических наблюдаемых, и ее фундаментальные симметрии)! Это довольно драматическая иллюстрация, но я думаю, что она показывает, что то, что мы называем физическим, всегда является вопросом современной веры.

Подводя итог вышеизложенному, вернемся к классическому примеру электрического заряда. Почему физики установили соглашение, согласно которому заряды определяют сектора суперотбора? Потому что сверхотбор зарядов в каком-то смысле универсален . В то время как правило суперотбора углового момента зависит от выбора гильбертова пространства, а правило суперотбора массы зависит от выбора физических наблюдаемых, электрический заряд несколько отличается. Пока мы верим в Стандартную модель, независимо от того, какое гильбертово пространство$H \subset H_{\text{universe}}$мы выбираем (это может быть гильбертово пространство лаборатории, земли или всей вселенной), подпространства$\{H_Q \subset H\}$индексируется оператором ограниченной общей суммы начислений$Q|_H$, определить сектора супервыборки в$H$в смысле определения 1. В просторечии это означает: состояния с разными зарядами не разговаривают друг с другом при любом выборе гильбертова пространства и физических наблюдаемых в Стандартной модели.

Это последнее резюме проясняет, что существующие сегодня правила суперотбора тесно связаны с современными представлениями о характере физических законов. Возможно, однажды появится новая физическая наблюдаемая, которая смешивает зарядовые сектора, или большее гильбертово пространство, в котором заряд в одной вселенной можно обменять на заряд в другой. К тому времени нам придется отменить принцип сверхотбора заряда и, надеюсь, найти новые правила суперотбора, которые облегчат нашу жизнь.

На эту тему есть выступление Роберта Спеккенса в PI.
Видео: Являются ли правила суперотбора фундаментальными?

По-видимому, среди специалистов по квантовой оптике ведутся (были?) давние споры о том, реальны ли когерентные состояния или это просто фикция.

Я недостаточно хорошо разбираюсь, чтобы сделать хорошее резюме этого выступления. Краткий вывод, который я сделал, заключается в том, что когерентность — это удобное приближение для использования в расчетах, и это приближение становится точным, когда ваша среда имеет бесконечно много степеней свободы.
Если вы хотите максимально объективно описать все, в том числе и окружающую среду, то когерентность — это просто фикция.

Итак, согласно этому докладу, ответ на ваш вопрос таков: суперпозиция запрещает многие суперпозиции?

Некоторые ссылки:
quant-ph/0507214 - Диалог о двух взглядах на квантовую когерентность: факт и беллетристика
quant-ph/0610030 - Системы отсчета, правила суперотбора и квантовая информация