Почему теорема Лиувилля очевидна?

В «Механике» Флориана Шека он сформулировал локальную форму теоремы Лиувилля следующим образом:

Позволять Φ т , с ( Икс ) — поток дифференциального уравнения

− Дж г г т Икс "=" ЧАС Икс .
Тогда для всех Икс , т , с для которого определен поток, имеем
Д Φ т , с ( Икс ) е С п 2 ф .

В своем доказательстве он утверждал, что

г г т [ Д Φ т , с ( Икс ) Т Дж Д Φ т , с ( Икс ) ] "=" 0
Таким образом, поскольку
Д Φ т , с ( Икс ) Т Дж Д Φ т , с ( Икс ) "=" Дж
когда т "=" с , мы доказали теорему.

Мой вопрос: почему в т "=" с ,

Д Φ с , с ( Икс ) Т Дж Д Φ с , с ( Икс ) "=" Дж
держит? Автор утверждал, что это "очевидно", но для меня это не очевидно. Математически т "=" с просто означает, что поток начинается в то время т "=" с для которого он определен. Таким образом, мы можем использовать с "=" 0 не теряя общности. Но почему уравнение Гамильтона
− Дж г Д Φ т , с , т "=" с ( Икс ) г т "=" Д ЧАС Икс ∘ Д Φ т , с , т "=" с ( Икс )

подразумевать

Д Φ с , с ( Икс ) Т Дж Д Φ с , с ( Икс ) "=" Дж ?
Записав это в форме блочной матрицы, мы должны иметь это равным дет [ Д Φ с , с ] Дж вместо. И мы не знаем, как до дет [ Д Φ с , с ] "=" 1 .

Ответы (3)

Причина очевидна в том, что гамильтонов поток является каноническим преобразованием в фазовом пространстве, а это означает, что якобиан гамильтонова потока, выполняющего линейное преобразование в касательном пространстве Д Φ , сохраняет симплектическую форму.

Путь Д Φ преобразует симплектическую форму J — это то, что он записал, и тот факт, что он сохраняет J, подразумевает теорему Лиувилля. Но трудно спорить, что подразумевает что, поскольку они просто эквивалентны друг другу. Чтобы увидеть, что гамильтонов поток является каноническим преобразованием, выберите канонические координаты и эволюционируйте x и p на бесконечно малую величину dt до новых координат:

Икс я + ∂ п я ЧАС г т
п Дж − ∂ Икс Дж ЧАС г т

затем проверьте, что скобка Пуассона этих новых координат Икс я ′ , п Дж ′ (используя старые координаты для вычисления скобки Пуассона) по-прежнему дельта я Дж , поэтому они по-прежнему каноничны, а J не изменился. Это следует из сокращения второй частной производной H в расчете скобки Пуассона, и это показывает вам, что J сохраняется на каждом временном шаге, поэтому оно должно сохраняться при интегрировании дифференциального уравнения за конечное время. Есть миллион способов сказать то же самое, некоторые более строгие на первый взгляд, но этого достаточно.

Как обычно отлично; Я хотел бы добавить комментарий, что в какой-то мере мы определяем каноническую систему координат тем, что она сохраняется при гамильтоновом течении. В качестве альтернативы можно принять ковариантную точку зрения и сказать, что мы пытаемся ввести координаты в пространство физических движений, которые являются константами, такими как положение и импульс частицы в некоторый конкретный момент времени; если система имеет некоторую предпочтительную опорную координату, такую ​​как время, потребуется преобразование с сохранением объема между координатами, связанными преобразованиями во времени.
@Ron Maimon: Это полезно, но не так прозрачно для неспециалиста вроде меня (который вчера изучил скобку Possion). Так что мне нужно потратить некоторое время, чтобы понять это. Спасибо за помощь.
@user32240: user32240: Это непрозрачно, если вы не знакомы с этими вещами --- вы должны явно выполнить расчет PB, который я дал --- это совсем не сложно. Дело в том, что это похоже на вращение с небольшими приращениями, которые сохраняют скалярные произведения. PB — это математическая структура, подобная скалярному произведению, за исключением того, что оно не является скалярным произведением, кодируемым J. Когда эволюция во времени сохраняет скалярное произведение, вы получаете вращение, когда эволюция во времени сохраняет J, это симплектика. Вам нужно усвоить это, и тогда все это очевидно, но это требует тщательного прохождения один раз.
@genneth: я согласен, но априори не очевидно, что такое возможно, поэтому вам нужна явная демонстрация того, что это работает с обычными каноническими координатами. Если у вас есть дифференциальное уравнение, разрушающее объем (например, с трением), любая попытка найти канонические координаты будет контрпродуктивной.
@RonMaimon: Согласен. Я никогда особо не задумывался об этом, но в принципе достаточно было бы потребовать, чтобы динамика была обратимой? Но и это не обязательно, так как мы постулируем, что траектории существуют, и нам нужно только выбрать для них координаты. Существование канонических пар неочевидно и принципиально требует, чтобы лагранжиан был первого порядка; но в более общем случае это нетривиально при наличии датчика, который предотвращает глобальный выбор ( ncatlab.org/nlab/show/phase+space ).
@genneth: Если все траектории опускаются к равновесию, как в градиентном потоке, если вы хотите создать фазовое пространство траектории, вы должны со временем взорвать область около фиксированной точки, чтобы объем оставался постоянным. Это явно смешно. Что делает фазовое пространство естественным, так это то, что сами траектории сохраняют информацию в сильном смысле в недиссипативной классической механике. Я не думаю, что это очевидно априори. Вы можете найти дифференциальные уравнения, в которых схлопывание двух траекторий вместе происходит за конечное время, и это явно несовместимо с фазовым пространством.

Похоже, что никто не ответил на ваш конкретный вопрос, так что вот. Φ с , с — это просто карта идентичности в фазовом пространстве (см. раздел 1.20 в третьем издании книги Шека, если вам это непонятно). Поэтому Д Φ с , с ( Икс ) "=" я 2 н , 2 н × 2 н единичная матрица.

@ user32240: Определитель, очевидно, равен 1 при t = s (при том, что другие люди называют t = 0), в другое время он еще не равен 1. Для этого нужно показать, что производная равна нулю, а это дело коммутации. Это неприводимое содержание теоремы Лиусвилля (или симплектического характера временной эволюции), и никакое упрощение не может избежать этого.
@RonMaimon: двойная проверка авторского доказательства подтвердила ваше утверждение, спасибо.

Есть лучшие способы сделать это, но я пытаюсь вычислить, используя предложение Рона Маймона. Поэтому, чтобы упростить задачу, я буду использовать только две переменные (надеюсь, остальные переменные не будут иметь значения). Тогда у нас есть

д я ′ "=" д я + д д п я ЧАС г т
и
п я ′ "=" п я − д д д я ЧАС г т

Таким образом

{ д 1 ′ , п 2 ′ } "=" [ д д 1 ′ д д 1 д п 2 ′ д п 1 − д д 1 ′ д п 1 д п 2 ′ д д 1 ] + [ д д 1 ′ д д 2 д п 2 ′ д п 2 − д д 1 ′ д п 2 д п 2 ′ д д 2 ]

Заметить, что

д д я ′ д д Дж "=" дельта я Дж + д 2 д п я д д Дж ЧАС г т ; д д я ′ д п Дж "=" д 2 д п я д п Дж ЧАС г т

У нас должно быть первое слагаемое

( 1 + д д п 1 д д 1 ЧАС г т ) ( − д д д 2 п 1 ЧАС г т ) + ( д 2 д п 1 2 ЧАС г т ) ( д д д 2 д д 1 ЧАС г т )
после расширения и отмены это оставляет нам
− д д д 2 д п 1 ЧАС г т

Второй член после расширения и сокращения оставляет нам

д д д 2 д п 1 ЧАС г т

Так что они действительно компенсируют друг друга, и мы проверили { д 1 ′ , п 2 ′ } "=" 0 . Другой расчет { д я ′ , п я ′ } "=" 1 должны быть во многом схожи.

Единственная часть этого, которая неверна, заключается в том, что есть лучшие способы сделать это. Нет лучших способов сделать это, все они эквивалентны этому в глубине души . Это не ответ, и его следует удалить, любой может его воспроизвести, в этом суть.
@RonMaimon: я имею в виду, что, понимая, что определитель равен 1, доказательство просто следует. Это проще, чем работать со смешанными частными производными.
Точно нет! Детерминант не всегда, очевидно, один, это не то, что происходит, он очевидно равен 1 только при t = s, когда нет преобразования. Производная определителя по времени равна нулю , и отображение этого утверждения, как бы вы это ни делали, содержит расчет со смешанными частными производными. Это вычисление является неприводимым минимумом для понимания результата, оно содержится во всех доказательствах, и это все нетривиальное, что в них содержится. Другого пути нет, только так.
Почему теорема Лиувилля очевидна?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v