Почему теплопроводность увеличивается с температурой?

Механизм увеличения теплопроводности - прыжки с участием фононов. Для неупорядоченной системы, не сохраняющей дальний порядок, электронная волновая функция становится локализованной. Протяженность волновой функции обычно много меньше размера системы и характеризуется длиной локализации$\xi$, параметр в теории. В этом случае электрон распространяется прыжками вдоль приложенного электрического поля. Скорость туннелирования электрона для прыжка из локализованного состояния$i$в другое государство$j$пропорциональна (экспоненциально) расстоянию между этими состояниями$r_{ij}$и температура

$$\begin{equation} \Gamma_{ij}=\gamma_0\exp(-\frac{r_{ij}}{\xi}-\frac{|E_i-E_j|}{T}) \end{equation}$$ где $\gamma_0$— еще один параметр теории, зависящий от плотности состояний фононов и электрон-фононного взаимодействия. Из этого уравнения вы можете видеть, как $\Gamma$(и, следовательно, проводимость) зависит от $T$.

Прыжковая теория была впервые введена для описания электронного транспорта в неупорядоченных полупроводниках. Заметной личностью является Ф. Н. Мотт. В настоящее время он также используется, например, для органических материалов. Для металла его можно применить, если он достаточно разупорядочен, в смысле локализации волновой функции, как сказано выше.

Я знаю, что тепло увеличивает колебания атомов в кристалле. Но как это объясняет увеличение теплопроводности?

Да, тепло увеличивает атомные смещения, но это относится к "нормальному" (не неупорядоченному) металлу. В результате увеличивается рассеяние электронов и уменьшается проводимость. Обратите внимание, что это связано с другим механизмом проведения. Если исследуемая система показывает увеличение проводимости с$T$- это прыжковая проводимость.

Классический учебник по этому предмету — « Электронные свойства легированных полупроводников» Шкловского и Эфроса.