Почему возражение Аристотеля не считается разрешением парадокса Зенона?

Решение Аристотеля было широко принято до конца 19 века, когда Кантор и Дедекинд формализовали понятие континуума в терминах теории множеств. В их интерпретации время фактически состоит из неделимых теперь, как линия состоит из точек, и любая другая величина также состоит из неделимых элементов. Это не означает, что Аристотель «неправ», но это означает, что его интерпретация времени/континуума расходится с современной математикой, и поэтому ее полезность сильно снижается. Поскольку математика используется для описания времени и движения в физических теориях, желательно решение, которое соответствует ее предпосылкам.

Конечно, чисто математические задачи движения решаются исчислением, но с философской точки зрения загадочна природа мгновенной скорости, тени движения там, где движения быть не может. А тот факт, что даже классическое физическое описание требует не чувственного физического пространства, а скрытого конфигурационного пространства с вдвое большим числом измерений (для учета скоростей и движения стрелы Зенона), вызывает еще большее недоумение. Когда дело доходит до времени, положения и скорости, в квантовой теории все становится еще более загадочным.

Оглядываясь назад, понимаешь, что решение Аристотеля всегда было неполным: он говорит, что время не есть, чего достаточно, чтобы отмести парадокс, но не говорит, что оно есть, что нужно для объяснения порождающих его загадок движения. При различных предположениях физические теории дают гораздо более четкие и подробные ответы. Возможно, какая-то будущая теория каким-то образом оправдает Аристотеля, но ее описание времени должно быть гораздо более сложным, чем его.

Как это на самом деле решает проблему? В самом вопросе нет никаких сомнений в том, что время каким-либо образом состоит из точек. Каждая из этих точек во времени, в которые мы измеряем расстояния, действительно существует, и мы можем взять каждое из этих соотношений расстояний. Таким образом, этот аргумент полностью упускает суть.

На самом деле, в нестандартном анализе мы делаем именно это, упрощая исчисление, конструируя бесконечно малые элементы и моделируя континуум, который на самом деле состоит из точек, которые в сумме составляют величину, поэтому мы знаем, что такой взгляд на геометрию является не совсем неправильно в абсолютном смысле.

Задача состоит в том, чтобы разделить ноль на ноль и получить определенное ненулевое и не бесконечное число. В какой-то мере это достаточно тревожно, так как фиктивное решение, которое вообще не затрагивает аргумент, было более приемлемым для древней и средневековой мысли.

Но, поскольку такие люди, как Архимед Пергский, Альберт Великий и Ньютон, мы привыкли к идее, что континуум естественным образом исцеляет деление на ноль и позволяет четко определить пределы отношений.

Это все еще место, где можно легко попасть в ловушку чепухи, если не обращаться с ней очень осторожно, поэтому, хотя мы и принимаем для нее решение, она заслуживает того, чтобы быть обозначенной как проблемная территория, и называть ее парадоксом не стоит. не работает.

Аристотель, кажется, рассуждал о времени с помощью математической модели (геометрическая величина), отличной от той, которая обычно используется сегодня (действительное число). Это не столько противоречит современной математике, сколько тому, как время моделируется в современной физике.

Действительные числа (и теория меры) сами по себе приводят к парадоксам Банаха-Тарского (не имеющим прямого отношения к линейным величинам, но известным ). Ограничения в том, как практиковалась классическая геометрия, не поддерживали деление величины на неделимые, а только на более мелкие величины. Это создало своего рода барьер для более современных решений парадокса, барьер, который был разрушен исчислением. Но хотя эти ограничения допускали парадоксы, подобные парадоксам Зенона, они также подавляли парадоксы, присущие теории меры.

Резолюция Аристотеля и Аквинского применима к геометрической модели времени (в которой величина не может быть разделена на неделимые), но не к современной модели времени, основанной на действительных числах/исчислении (в которой величина может быть разделена на неделимые части и восстановлена) . через интегрирование или измерение). Однако более новая математическая модель может разрешать некоторые старые парадоксы так же, как вводит новые.

Если бы я хотел не согласиться с Аристотелем, я бы сделал это на следующих основаниях.

В современной математике мы умеем прикреплять гораздо больше данных к отдельным точкам; например

• В физике в любой момент частицы имеют импульс. Физические законы связывают импульс с изменением положения
• Точно так же в дифференциальной геометрии каждая точка имеет кокасательное пространство : данные из кокасательного пространства говорят нам о скорости изменения функции.
• В более общем смысле у каждой точки есть стебель : росток функции в точке — это достаточно информации, чтобы рассказать нам все о функции во всей открытой окрестности точки. (хотя и не насколько велик район)

и мы хорошо изучили, как собирать данные в отдельных точках в непрерывное целое.

Мы можем настаивать на том, что в каждое мгновение — каждое «неделимое сейчас» — мы не ограничиваемся знанием точного местонахождения чего-либо, но вместо этого знаем весь зародыш его движения. И, следовательно, мы можем изучать движение как континуум «неделимых сейчас».

Тем не менее, я думаю, что это возражение носит скорее технический характер, чем несогласие с духом позиции Архимеда. Моя интуиция подсказывает, что приведенные выше (и многие другие) идеи конкретизируют «нечеткое»* понятие точки, которое каким-то образом имеет расширение, несмотря на то, что** просто является точкой. И в каком-то смысле эти нечеткие точки все же умудряются быть «делимыми»; например, путем перехода от стебля к волокну. (т. е. забывание «зародыша» движения и запоминание только положения в этот момент).

Более снисходительная интерпретация состоит в том, что это расплывчатое понятие точки по-прежнему удовлетворяет духу позиции Аристотеля.

*: Не имеет отношения к нечеткой логике

**: Некоторые даже управляют этим более прозрачно, например, как нестандартный анализ создает вокруг стандартной точки целый ореол «бесконечно малых близких» нестандартных точек.

Кроме того, чтобы расширить то, что я упомянул в другом комментарии, я бы все равно возражал против возражения выше на том основании, что ему все еще нужно больше, чем «точки и дополнительные данные», т.е. есть еще дополнительная информация (например, топология) который кодирует, как сами точки относятся друг к другу. Эта дополнительная информация не менее важна (а возможно и важнее ), чем сами точки.

Ниже приведено содержание заданного здесь вопроса ; но что имеет отношение к вопросу выше:

Зенон хорошо известен как рассказчик об Ахиллесе и черепахе и о том, как черепаха никогда не ловит Ахиллеса; что противоречит нашему опыту; вопрос о том, как согласовать эти два понятия, обычно относится к теории бесконечных рядов; и на самом деле это лишь формализация следующего физического наблюдения:

Что последовательность перемещений, совершаемых Ахиллесом, представляет собой бесконечный ряд; что мы знаем, что общая сумма этих перемещений должна составить конечную сумму (поскольку его путь и путь черепахи в конце концов пересекаются); формализация этого математически технически называется теоремой о монотонной сходимости .

Однако, когда мы обратимся к появлению Зеноса у Платона Парменида , мы находим, что Сократ говорит, что:

Я вижу, Парменид, что Зенон хотел бы быть не только единым с тобой в дружбе, но и твоим вторым я в своих сочинениях; он излагает то, что вы говорите, по-другому и охотно делает вид, что говорит нам что-то новое.

на что он уточняет

Ибо вы в своих стихах говорите, что Все едино, и приводите этому превосходные доказательства; а он, с другой стороны, говорит, что их немного; и от имени этого он предлагает неопровержимые доказательства. Вы утверждаете единство, он отрицает множественность. И поэтому вы обманываете мир, заставляя его поверить в то, что говорите разные вещи, когда на самом деле говорите одно и то же. Это направление искусства, недоступное большинству из нас.

Вряд ли это похоже на содержание приведенного выше аргумента; ибо где там отрицается множественность - и что, согласно Сократу, кажется сердцевиной интересов Зеноса.

примечание :

Возможное предположение состоит в том, что и движение с точки зрения смещения, и время измеряются с использованием реальной линии; а это, задуманное как множество точек, вообще не допускает движения. Ибо как можно перейти из одной точки в другую? Ибо между точкой и другой пустота .

Это звучит неестественно и неинтуитивно; но рассмотрим реальную линию с так называемой дискретной топологией, где:

точки образуют прерывистую последовательность, то есть они изолированы друг от друга в определенном смысле

Визуально это как если бы мы поднесли к линии увеличительное стекло и увидели между точками пустоту (конечно, это увеличительное стекло с неестественно большой силой увеличения, которого нет ни в одном уличном магазине); предположительно ее также называют полностью отключенной линией . Таким образом, топология связывает все множество точек в единое целое; рассеивает пустоту; и допускает движение.

Есть разница между точкой и неделимым. Я думаю, что важно учитывать различие. Легкий выход здесь состоит в том, чтобы рассматривать точку как объект без величины и неделимый как объект с величиной. Если мы утверждаем, что линия состоит из точек, это будет означать, что цепочка из бесконечного множества нулей даст в сумме единицу, что явно неверно. Но с неделимыми как объектами с величиной, как их использовал и Архимед, тогда они составят единство. Это проблема времени Ньютона, но она восходит к Архимеду, которому никогда не приходилось давать четкого определения предела, и, возможно, он даже не пытался его определить.

Наиболее понятный для меня способ разрешить этот знаменитый, казалось бы, глубоко-трудный парадокс лежит в современном исчислении бесконечности, которое можно ясно выразить с помощью символа Лейбница dx. Таким образом, Зенон «описывает» смещение прямолинейной траектории как: 0 + 0 + 0 + ..(infinitely many).. + 0 = 0, в то время как честный и разумный способ «описать» то же самое: dx + dx + dx + ..(infinitely many).. + dx = a finite number(относительно нашего мира), т. е. определенный интеграл ∫dx = finite number.

Так что в этом смысле объяснение Аристотеля находится на правильном пути, но ему не хватает строгости по сравнению с исчислением, движение накапливается посредством измерения (интеграции), а не бесконечного счета мгновений.

Но по-настоящему сложной частью является наше очень ограниченное неполное понимание континуума, пока после Дедекинда, Кантора, Лебега, Бэра и др. Теперь мы знаем больше о очевидной разнице между рациональными и иррациональными с помощью категорий Бэра. Таким образом, это пример, показывающий, что эмпиризм не может объяснить, как люди могут открывать или изобретать такого рода понятия, которые кажутся разумными только для того, чтобы визуализировать их на чрезвычайно абстрактном и трансцендентальном уровне за пределами нашего обычно переживаемого мира. "dx" не имеет смысла для наших органов чувств, подобно явлениям в квантовой механике...