Подключение майорановского спинора к лагранжиану Дирака не дает майорановского лагранжиана?

Кажется, это должно быть просто, но почему-то я не понимаю, как это сделать.

Майорановский лагранжиан можно записать в терминах левого спинора Вейля.$\psi_L$как

$$\mathcal{L}_M= i \psi_L^\dagger \bar{\sigma}^\mu \partial_\mu \psi_L - \tfrac{m}{2} \psi^T_L \epsilon \psi_L + \tfrac{m}{2} \psi^\dagger_L \epsilon \overline{\psi}_L \hspace{1cm}.$$ Между тем лагранжиан Дирака может быть записан в терминах левостороннего спинора Вейля. $\psi_L$и правосторонний спинор Вейля $\psi_R$как $$\mathcal{L}_D = i \psi_L^\dagger \bar{\sigma}^\mu \partial_\mu \psi_L + i \psi_R^\dagger \sigma^\mu \partial_\mu \psi_R - m (\psi_L^\dagger \psi_R + \psi_R^\dagger \psi_L).$$

Здесь я использую соглашение$\sigma^\mu = (I, \sigma^i)$,$\bar\sigma^\mu = (I, -\sigma^i)$, и$\epsilon = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$.

Условие реальности майорановского спинора просто

$$\psi_R = - \epsilon \overline{\psi}_L.$$ Подключаем вышеперечисленное $\psi_R$в $\mathcal{L}_D$, и используя тождество $- \epsilon \sigma^\mu \epsilon = (\bar\sigma^\mu)^*$, Я получил

$$\mathcal{L}_D = i \psi_L^\dagger \bar{\sigma}^\mu \partial_\mu \psi_L + i \psi_L^T (\bar{\sigma}^\mu)^* \partial_\mu \overline{\psi}_L + m \psi_L^\dagger \epsilon \overline{\psi}_L - m \psi_L^T \epsilon \psi_L.$$

Мне кажется, что я бы$\mathcal{L}_D = 2 \mathcal{L}_M$если бы я только мог доказать

$$i \psi_L^\dagger \bar{\sigma}^\mu \partial_\mu \psi_L \stackrel{?}{=} i \psi_L^T (\bar{\sigma}^\mu)^* \partial_\mu \overline{\psi}_L.$$

Однако я не понимаю, почему приведенное выше уравнение должно быть верным. Дополнительным уровнем сложности является то, что$\psi_L$действительно вектор переменных Грассмана, которые удовлетворяют

$$\{ \psi_L^a, \psi_L^b \}_+ = 0 \hspace{1 cm} \{ \overline{\psi^a}_L, \overline{\psi^b}_L \}_+ = 0 \hspace{1 cm} \{ \psi_L^a, \overline{\psi^b}_L \}_+ = \delta^{ab}$$ для $a,b = 1,2$.

Какими правильными манипуляциями показать, что$\mathcal{L}_D = 2 \mathcal{L}_M$?