Подсчет циклов — что, если граф не является плоским?

Обычно утверждается, что ℏ подсчитывает количество петель в связной схеме. Например, КТП Вайнберга, том II, уравнение 16.1.10. Это основано на том, что для диаграммы с я внутренние линии и В вершин, число петель равно

(1) л "=" я − В + 1

Это уравнение по существу является формулой Эйлера для плоских графов . Однако такая формула действительна только для плоских графов, так как же мы можем понять ( 1 ) для неплоских графов? Как мы доказываем ℏ подсчитывает количество петель в произвольной (связной) диаграмме, независимо от того, плоская она или нет?

Смотрите вторую часть этого моего ответа .

Ответы (1)

Ключевым моментом является то, что, как указывает ACM в этом своем ответе , формула для общего графика - это просто характеристика Эйлера :

В − Е + Ф "=" 2 ( 1 − г )
где г является родом графа . Планарные графы, по определению, графы с г "=" 0 .

Плоский или нет, но легко видеть, что число независимых петель произвольного графа равно

л "=" Ф − 1 + 2 г
и поэтому
л "=" Е − В + 1
независимо от г . ◻

Примечание: количество петель л является Ф − 1 (потому что лицо "на бесконечности" за петлю не считается) плюс 2 г , потому что каждый дескриптор позволяет добавить один цикл без пересечений. Таким образом, л "=" Ф − 1 + 2 г , как утверждалось выше.

Даже если ответ ACM по существу отвечает на мой вопрос, я действительно не хочу удалять пост, потому что термодинамика недавно обогнала квантовую теорию поля , и я хочу, чтобы последний тег вернул себе свою позицию. Нам нужно больше вопросов QFT!
Подсчет циклов — что, если граф не является плоским?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v