Почему производные в терминах взаимодействия рассматриваются иначе, чем производные в терминах кинетики?

Это связано с тем, как мы строим теорию возмущений, рассматривая часть лагранжиана как «свободную» и, следовательно, трактуемую точно, а остальную часть как «возмущение». Как очень простой пример. рассмотрим интеграл Гаусса

$$I = \int_{-\infty}^\infty dx \, e^{-a^2 x^2 - \epsilon^2 x^2}.$$ Точное значение этого интеграла равно $$I = \sqrt{\frac{\pi}{a^2 + \epsilon^2}}$$ где оба$a$и$\epsilon$оказаться в знаменателе. С другой стороны, мы можем думать о$e^{-a^2 x^2}$как «бесплатная» часть и$e^{-\epsilon^2 x^2}$как «возмущение». Затем в низшем порядке в$\epsilon$, $$I \approx \int_{-\infty}^\infty dx \, e^{-a^2 x^2} (1 - \epsilon^2 x^2) = \frac{\sqrt{\pi}}{a} - \frac{\sqrt{\pi}}{2a^3} \epsilon^2.$$ Так что пока$\epsilon$изначально был в знаменателе, но при рассмотрении его как возмущения он оказывается в числителе; это становится ясно, если Тейлор расширит наше точное выражение для$I$. Суммируя все вклады,$\epsilon$возвращается в знаменатель, как и ожидалось.

По сути, то же самое происходит, когда вы выводите правила Фейнмана с формулировкой интеграла по траекториям. Это наиболее заметно в перенормированной теории возмущений, где один и тот же кинетический член появляется как в «свободной», так и в «возмущенной» частях.

Неформально говоря (я не знаю, можно ли это сформулировать более строго), мы можем рассматривать кинетические члены как имеющие правило Фейнмана.$\sim p^2$, в каком-то смысле.

Рассмотрим массивный случай:$\mathcal{L}=|\partial\phi|^2 - m^2\phi^2$. Можно сказать, что у нас есть правило Фейнмана, дающее$-p^2$для вершин с двумя полями. Тогда у нас было бы$1/m^2$в качестве пропагатора ведущего порядка, а сумма всех вкладов будет:

$$\frac{1}{m^2} - \frac{1}{m^2} p^2 \frac{1}{m^2} + \frac{1}{m^2} p^2 \frac{1}{m^2} p^2 \frac{1}{m^2} + \cdots = \frac{1}{p^2 + m^2}.$$

---

Что неизбежно в теории возмущений, так это выделение квадратичной части , чтобы можно было вычислить

$$\left<\mathcal{O}\right> = \int D\phi \, \mathcal{O}(\phi) \,e^{\int\phi D \phi + iS_{\text{int}}(\phi)}$$

путем вычисления обратного некоторого дифференциального оператора$D$, что дает пропагатор, и расширение$e^{S_{\text{int}}}$в полномочиях$\phi$. Так что в итоге мы получаем то, что внутри$D$(включая$p^2$) в знаменателе и вещи, которые появляются в$S_{int}$в числителе.