Полный вывод генератора вращений

Книга, в которой вывод описан достаточно педагогически, — это «Квантовая механика Баллентайна — Современное развитие» , глава 3. Я собираюсь дать набросок 30-страничной главы. (Осторожно, я подавляю векторную запись)

---

Преобразования квантового состояния выражаются как унитарные преобразования. Расширение первого порядка унитарного преобразования вокруг тождества обязательно дает нам$1- i \epsilon \hat K$где$\hat K$является эрмитовым оператором. Просто рассматривая преобразования Галилея обычных трехмерных координат (т.е. неквантовые преобразования), мы можем вывести коммутационные соотношения этих бесконечно малых генераторов, которые должны применяться и в случае преобразований квантовых состояний.

Тогда у нас есть десять бесконечно малых образующих группы Галилея и их коммутационные соотношения. Скажем, мы звоним$\hat H$бесконечно малый генератор перевода времени, и мы постулируем оператор положения$\hat Q$и оператор скорости$\hat V$и просто требуя

$$\frac{\rm d}{{\rm d}t}\langle\hat{Q}\rangle = \langle\hat V\rangle$$
мы получаем $$\hat{V} = i [\hat H, \hat Q]$$ и с помощью аналогичных требований мы можем восстановить большой набор коммутационных соотношений между операторами положения и скорости и бесконечно малыми генераторами. Скажем, мы звоним $G$оператор, который придает частице бесконечно малый «толчок» в пространстве скоростей. Мы можем вывести это $$[\hat G, \hat Q]=0$$ В свою очередь, из физических соображений степеней свободы мы можем определить $\hat Q=\hat G$. Аналогично, в предположении отсутствия внутренних степеней свободы оператор $\hat Q \times \hat P$ван отождествить с генератором вращений $\hat J$из-за тех же коммутационных соотношений с остальными. Допущение внутренних степеней свободы дает нам коммутационные соотношения спинового оператора (т.е. $\hat S = \hat J - \hat Q \times \hat P$) должен выполнить.

---

Но будьте осторожны, есть оговорки. Когда физическая ситуация не обладает трансляционной симметрией (т.е. существует потенциальное поле, в котором движется частица), общее соотношение между$\hat{V}$и$\hat{P}$это не то, что вы ожидаете

$$\hat P = M \hat V + A(\hat Q)$$ где $A(\hat Q)$с точностью до множителя соответствует векторному потенциалу магнитного поля. Так $\hat Q \times \hat P$ не угловой момент в классическом смысле , а скорее в смысле фазового пространства гамильтоновой механики.

Это ясно подчеркивает тот факт, что бесконечно малый генератор вращений не может быть определен как полный угловой момент . Скорее, анализ, подобный тому, который сделал Баллентайн, должен быть сделан, чтобы полностью понять значение операторов.