Вращение собственных функций углового момента?

Я изо всех сил пытаюсь понять этот очевидно очевидный пример в моих заметках по теории групп:

введите описание изображения здесь

Где е я ф и е − я ф факторы берутся?

я знаю, что м л = -1,0 и +1 собственные состояния углового момента имеют ф зависимость, включенная в сложный экспоненциальный множитель того же вида... Но если ф может быть переменная? В отличие от фиксированного угла поворота?

Не могли бы вы уточнить, что вы имеете в виду под этим: «Но должна ли ϕ быть переменной? В отличие от фиксированного угла поворота?»
С технической точки зрения, это на самом деле опыт ⁡ [ − я м ℓ ф ] где м ℓ е ( − 1 , 0 , 1 ) .
Я думаю, вы путаете переменную Д л м ( θ , ф ) и (фиксированный) угол поворота (здесь Д л м ( θ , ф ) "=" ⟨ θ , ф | л , м ⟩ ). Давайте переформулируем ваш вопрос, используя поворот угла α "=" − ф ( ф является переменной, тогда как ф параметр вращения). Тогда вращение волновой функции определяется выражением Д л м ( θ , ф ) → е − я м ф Д л м ( θ , ф ) .

Ответы (1)

Собственное состояние углового момента можно повернуть, используя

| Дж , м ⟩ → е я С → ⋅ θ → | Дж , м ⟩
где С → это 2 Дж + 1 размерные матрицы Паули. Для отжима 1 / 2 например, С → — обычные матрицы Паули, 1 2 о → . Вектор θ параметризирует вращение. В зависимости от размерности значения Дж размерность С → отличается.

Для отжима 1 , С матрицы:

С Икс "=" 1 2 ( 0 1 0 1 0 1 0 1 0 ) , С у "=" 1 2 ( 0 − я 0 я 0 − я 0 я 0 ) , С г "=" ( 1 0 0 0 0 0 0 0 − 1 )

При вращении только в г направление ( θ → "=" ( 0 , 0 , ф ) ) нам нужно только С г и у нас есть,

| 1 , м Дж ⟩ → е я С г ф | 1 , м ⟩
С С г является диагональным, его тривиально возводить в степень,
е я С г ф "=" ( е я ф 0 0 0 1 0 0 0 е − я ф )
давая преобразование, которое вы хотите.

Вращение собственных функций углового момента?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v