Связь углового момента - расчет коэффициентов Клебша – Гордана

Если вы посмотрите на запись в Википедии для символов Wigner 3-j: http://en.wikipedia.org/wiki/Wigner_3-j_symbols

Вы увидите, что эти символы связаны, объединяя два состояния вращения, чтобы получить третье состояние:

$\begin{pmatrix} j_1 \, j_2 \, j_3\\ m_1 \, m_2 \, m_3 \end{pmatrix} \equiv \frac{(-1)^{j_1-j_2-m_3}}{\sqrt{2j_3+1}} \langle j_1 m_1 j_2 m_2 | j_3 \, {-m_3} \rangle.$

Игнорируя любые коэффициенты, интерпретация такова, что первые два столбца — это добавляемые состояния, а третий столбец — результирующее состояние.

Это говорит нам о нескольких вещах. Во-первых, это говорит нам, что сумма в нижней строке должна равняться 0. Это просто сохранение углового момента (в направлении z). Таким образом,$m_1 + m_2 = m_3$.

Итак, вернемся к вашему первоначальному вопросу: исходный символ 3-j можно разложить на сумму других символов. Физически это означает: учитывая две частицы с фиксированным полным спином (в данном случае со спином 1 и спином 2), как я могу сложить их вместе, чтобы получить эффективное состояние с полным спином 2?

Сосредоточившись только на нижнем ряду, который представляет угловые моменты частиц в направлении z, первая запись может быть 2, 1, 0, -1, -2 (возможные спины в направлении z частицы со спином 2) и вторая запись во второй строке может быть только 1, 0, -1 (это частица со спином 1). Но в сумме эти два должны давать 0. Таким образом, при таком выборе работают только три комбинации: 0 + 0 = 0, 1 + -1 = 0, -1 + 1 = 0. Вот почему только эти три символа перечислены: все остальные исчезают.

Физическая интерпретация такова: учитывая частицу со спином 2 и частицу со спином 1, я могу объединить их вместе, чтобы сформировать эффективную частицу со спином 2 с нулевым угловым моментом в направлении z. Для этого мне нужно всего 3 члена в сумме, а значение 3-j символов дает вам коэффициенты каждого члена в сумме.