Угловой момент - доказательство для целых или полуцелых собственных значений

Ваши баллы, 1-3 в порядке. Существует максимальное и минимальное значение$m$. Назовите максимальное значение$M$(мы должны назвать это как-то). Теперь мы можем применять нижний оператор любое количество раз, каждый раз он понижает значение$m$на полную целочисленную сумму. Максимальное и минимальное значение имеют конечную разность$d$. Итак, если вы округляете$d$до ближайшего целого числа$n$вы видите, что применяя понижающий оператор$n$раз должны привести к состоянию наименьшего$m$(или же сначала попасть в состояние с нулевой величиной). Таким образом, конечное число применений понижающего оператора отправило максимальное значение$M$к минимальному значению, поэтому они отличаются на целую величину (каждый раз, когда вы опускали,$m$снизился на 1). Таким образом, максимальное и минимальное значения$m$отличаются целым числом.

Для меня это доказательство того, что$j=M$представляет собой целое или полуцелое значение ($n=j-(-j)=2j$). Похоже, ваши доказательства обратны, и вы также пытаетесь доказать ложное утверждение (что$m$должно быть целым числом, когда, например, спин частицы со спином 1/2 может иметь$m=1/2$).

Чтобы явно показать, что m=1/2 возможно, пусть$J_x=\hbar\sqrt{3/4} \sigma_x$,$J_y=\hbar\sqrt{3/4} \sigma_y$,$J_z=\hbar\sqrt{3/4} \sigma_z$и$J^2=\hbar^23/4\left( \sigma_x^2+\sigma_y^2+\sigma_z^2\right)$. Затем заметим, что они удовлетворяют коммутационным соотношениям. Затем обратите внимание, что собственные значения$J_z$являются$\pm \hbar/2$следовательно$m=\pm 1/2$по определению.

Таким образом, невозможно доказать желаемое утверждение, что$m$является целым числом из hyopthesi, поскольку приведенный выше абзац удовлетворяет гипотезе, но заключение ложно, поскольку$m=1/2$не является целым числом, но является вполне подходящим значением.

Ответ на отредактированный вопрос

Если у вас есть два значения$m$которые отличаются нецелым числом, то многократный оператор понижения, примененный к каждому, не может одновременно останавливаться на одном и том же самом наименьшем$m$состояние. Значит, должно быть государство, кроме низшего$m$состояние, которое обнуляется понижающим оператором.

Покажите (или предположите), что этого не может быть, и все готово.

Ваш пункт 1. показать, что если$j$(предполагаемый$>0$) — максимальное значение$m$, затем$-j$является наименьшим значением, т.е. условия симметричны на$m$.

Ваш пункт 2. показывает, что вы должны быть в состоянии достичь$j$от$-j$используя целое число шагов, что то же самое, что сказать$2j$должно быть целым числом.

Что касается вашего последнего вопроса: поскольку вы доказали, что$J_\pm$поднять или опустить на 1, начать с максимального значения$m$, который$j$и "закрутить" с помощью$J_-$. Вы можете достичь состояния только с помощью$m$значения, заданные$j,j-1,\ldots,-j$.

Предположим, ради обсуждения, что ваш$j=4/3$, так что$2j$не является целым числом. Применение$J_-$многократно производит последовательность$m$ценности$4/3,1/3,-2/3$. Легко видеть, что наименьший$m$не является минусом самого большого$m$; эта последовательность$m$'s не имеет физического смысла, так как переворачивает$z$ось должна просто изменить знак проекции$m$, обосновывая симметрию по знаку$m$заключен в вашем пункте 1. Более того, вы никогда не получите ничего, кроме$\Delta m=\pm 1$.