Получение лагранжиана из действия в искривленном пространстве-времени

Предположим, у меня есть это действие:

С "=" ∫ г 4 Икс − г × что-нибудь

где г является определителем метрики.

Должен ли я считать лагранжиан:

л "=" − г × что-нибудь

или:

л "=" что-нибудь

вместо? Да, это глупый вопрос.

Ответы (2)

В некотором смысле это просто семантика, но я бы сказал, что естественный выбор л "=" − г × что-нибудь . Если вы примите это определение, общая форма уравнений движения будет такой же, как при выполнении КТП по Минковскому, с соответствующими обобщениями для учета кривизны. Кроме того, я думаю, что это стандартная практика определять действие

С ≡ ∫ г т л "=" ∫ г 4 Икс л
Эта форма сохраняется и тогда, когда принимается предложенная мной конвенция.

На самом деле естественный выбор л "=" что-нибудь , причина в том, что − г термин естественно сочетается с формой объема г 4 Икс .

Прежде чем рассматривать искривленное пространство-время, рассмотрите недекартовы координаты. Например, сферические координаты

г т г Икс г у г г "=" р 2 грех ⁡ θ   г т г р г θ г ф

Откуда этот термин р 2 грех ⁡ θ родом из? Это определитель матрицы Якоби замены координат. Это роль − г пьесы, без которых объемная форма не была бы инвариантной к координатным изменениям.

Если бы вы разделили его по-другому, ни плотность Лагранжа, ни форма объема не были бы лоренц-инвариантными. Так что гораздо логичнее сохранить − г с интеграцией и сохранить л просто лагранжева плотность.

Я согласен с @PhysStudent, естественный выбор действительно л "=" что-нибудь . − г г Икс 0 ∧ г Икс 1 ⋯ часть, которая появляется в а с т я о н – форма объема на многообразии. По определению мы имеем, что действие берется как интеграл по пространству (скажем, Ом ) где плотность лагранжиана определена: С "=" ∫ Ом л "=" ∫ г 4 Икс − г л .
Проблема с определением л "=" − г × ⋯ заключается в том, что он работает только для лоренцевских многообразий. Если вы хотели затем работать с римановым пространством (по какой-либо причине), ваше определение больше не действует. Если вы удалите какие-либо следы − г из лагранжиана и сказать, что оно возникает в форме объема внутри действия, то никакая несогласованность никогда не может возникнуть.
Я согласен с вашим мнением, но для вывода уравнений Эйлера-Лагранжа мы обычно берем л "=" | г | × … ?
Если вы забудете − г термин в космологии, ваша материя не растворится и т. д. Работая на искривленном и динамичном фоне, было бы элементарной ошибкой опустить − г срок.
Кроме того, обратите внимание, что только с − г термин лагранжиан действительно является плотностью .
@JamalS Чтобы вывести уравнения Эйлера-Лагранжа, мы начнем с действия, поскольку оно исходит из принципа стационарного действия. Так что я не уверен, почему вы думаете, − г опускается.
@Void Если вы говорите − г необходимо, чтобы преобразование Лагранжа было похоже на скалярную плотность, то вы говорите г 4 Икс прекрасно преобразуется без g-фактора? Кажется, что аргумент сферической координаты выше (или просто из определения, которое использует Артур) не согласен с этим.
@PhysStudent Ну, тогда в ваших уравнениях Эйлера-Лагранжа у вас не было бы л но л − г из-за ∂ Икс мю условия ( дельта ф , мю вариации и per partes). В уравнениях Лагранжа должна фигурировать лагранжева плотность, не так ли? Вся аргументация с формами объема ошибочна, когда речь идет о неориентируемых многообразиях — здесь мы действительно говорим о плотностях , а не о формах объема. г 4 Икс тогда просто плотность другого веса .
@Void Хорошо, может быть, тогда это просто соглашение об обозначениях, потому что я никогда не видел − г включены в лагранжевую плотность. Вместо этого он остается в паре с термином объема, как с действием Эйнштейна-Гильберта.
@John В супергравитации через формализм суперпространства киральная плотность (включая − г как низшая компонента) обычно принимают в плотность лагранжиана.
Получение лагранжиана из действия в искривленном пространстве-времени
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v