Решение электромагнитного векторного поля с помощью лагранжиана

Учитывая действие формы

С "=" − 1 4 ∫ г 4 Икс η мю ν η λ р Ф мю λ Ф ν р

где Ф мю ν "=" ∂ мю А ν − ∂ ν А мю , η мю ν "=" г мю ν / а 2 ( η ) , где г мю ν задается элементом строки:

г с 2 "=" а 2 ( η ) [ г η 2 − ( г Икс я ) 2 ]

Я хотел бы решить для А мю , а стандартное решение

А мю ( α ) "=" е мю ( α ) е я к ν Икс ν .

Мне интересно узнать, как получить этот результат.

Мой подход заключается в том, чтобы сначала написать лагранжиан из действия и использовать EL eq.

∂ л ∂ А мю − г г Икс ν ∂ л ∂ ( ∂ ν А мю ) "=" 0

Моя главная проблема - математическая сложность в оценке уравнения EL. Может ли кто-нибудь помочь мне в этом?

Вы работаете с QFT в искривленном пространстве-времени? В этом случае элемент объема г 4 Икс − г где г является определителем метрики (это 1, если метрика просто Минковского).

Ответы (1)

Действие электромагнитного поля в искривленном пространстве определяется выражением

С "=" − 1 4 ∫ г 4 Икс | г | Ф мю ν г мю λ г о ν Ф λ о

для общей метрики, г мю ν - обратите внимание, что правильный элемент громкости находится с | г | . Уравнения движения или, что то же самое, уравнения Эйлера-Лагранжа:

∂ ν ( | г | Ф мю ν ) "=" 0

в вакууме, где мы решили скрыть дополнительные факторы метрики, увеличив индекс тензора напряженности поля. В вашем вопросе ваше решение - плоская волна , для г мю ν "=" η мю ν . Если вы хотели работать в пространстве-времени, которое вы предоставили,

г с 2 "=" а ( т ) 2 [ г т 2 − г Икс 2 − г у 2 − г г 2 ]

вы должны поднять тензоры с этой метрикой и включить объемный коэффициент. В вашем случае действие становится,

С "=" − 1 4 ∫ г 4 Икс а ( т ) 4 Ф мю ν г мю λ г о ν Ф λ о

∂ ν ( а ( т ) 4 Ф мю ν ) "=" 0 ⟹ ∂ я Ф мю я "=" − ( ∂ 0 + 4 а ˙ ( т ) а ( т ) ) Ф мю 0

где Ф мю ν поднимается с вашей кривой метрикой.

Но на самом деле это не решает проблему. И я не уверен, что уравнение EL, которое вы написали, правильное.
@titanium: уравнения движения, которые я написал, верны; результат тривиален, и его можно найти в любом учебнике по теории поля в искривленном пространстве. Теперь, что касается решения, которое у вас есть - это просто плоская волна, она фактически решает уравнения в плоском пространстве Минковского, так что просто подключите ее и проверьте.
@titanium: Если вы предпочитаете, вы можете написать их как ∇ мю Ф мю ν "=" 0 , с ковариантной производной и дополненной тождеством Бьянки, но по сути это то же самое, что я написал.
Решение электромагнитного векторного поля с помощью лагранжиана
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v