Получение уравнений Максвелла из принципа минимального действия

Сейчас я работаю над началом книги Алексея Цвелика « Квантовая теория поля в физике конденсированных сред». Я немного озадачен несколькими важными шагами.

Начиная с действия:

$$S = \int dt \int d^3 x \mathcal{L}_{\mathrm{EM}} = \int dt \int d^3 x \left( -\frac{1}{4} F_{\mu \nu} F^{\mu \nu} + j_\mu A^{\mu}\right).$$

При отсутствии каких-либо источников$j_\mu = 0$и$c=1$, что после вытягивания отрицательного знака означает

$$S = \frac{1}{2}\int dt \int d^3 x \,\,\left(E^2 - B^2\right)$$ Следующим шагом является принятие $\vec{E} = -\vec{\nabla} \phi + \partial_t \vec{A}$и $\vec{B} = \vec{\nabla} \times \vec{A}$. Сдача $\phi = 0$и непосредственно вставляя их в приведенные выше результаты:

$$S = \frac{1}{2} \int dt \int d^3 x \,\left( (\partial_t \vec{A})^2 - (\vec{\nabla} \times \vec{A})^2 \right)$$

Теперь учитывая$\vec{A} = \vec{A}_0 + \delta \vec{A}$как некоторое минимальное изменение нашего векторного потенциала, с$\vec{A}_0$дает минимум для действия и подставляя его в приведенное выше выражение, мы имеем:

$$\delta S = \int dt \int d^3 x \left(\partial_0 \vec{A}_0 \partial_0 \delta \vec{A} + \left(\vec{\nabla} \times \vec{A}_0\right)\cdot\left(\vec{\nabla} \times \delta \vec{A} \right) \right)+ \mathcal{O}(A^2)\,\,\,\,\,\,\, (1)$$ где у меня термин $$\mathcal{O}(A^2) = \int dt \int d^3 x \left( (\partial_0 \vec{A}_0)^2 + (\partial_0 \delta \vec{A})^2 - (\vec{\nabla}\times\vec{A}_0)^2-(\vec{\nabla}\times \delta\vec{A})^2\right)$$

На следующем этапе я теряю нашего автора и перехожу от «О, хорошо, я понял» к «совершенно невежественен». Он переписывает$\delta S$как:

$$\delta S = \int dt \int d^3 (\delta x) \vec{A} \mathcal{F(\vec{A}_0)}+ \mathcal{O}(A^2)$$

где$\mathcal{F} = \frac{\delta S}{\delta A}$. Какова цель$x\to \delta x$в приведенном выше выражении? Является функциональной производной$\mathcal{F}$векторная величина? Он выделен полужирным шрифтом$\vec{A}$в приведенном выше выражении. Последний вопрос расширяет приведенное выше выражение. Мы предполагаем$\delta \vec{A}$обращается в нуль на бесконечности, как и должно быть, и интегрирование по частям дает:

$$\delta S = -\int dt \int d^3 x \left( \partial^2_0 \vec{A}_0 - (\vec{\nabla} \times \vec{\nabla})\times \vec{A}_0 \right)\delta \vec{A}\,\,\,\,\,\,\,\, (2)$$ Как именно мы перешли от (1) к (2)? Спасибо, я ценю ваше время!