Уравнения Эйлера-Лагранжа с использованием E⃗ E→\vec{E} и B⃗ B→\vec{B} вместо AµAµA^\mu [дубликат]

Вы можете сделать то же самое, скажем, для лагранжиана Клейна-Гордона: определить $F_\mu=\partial_\mu\phi$, так что $L=\frac12F^2$. Уравнения Эйлера-Лагранжа относительно $F$урожай $F=0$, что не эквивалентно $\partial^2\phi=0$. В заключение, вы не можете свободно переопределять свои переменные конфигурационного пространства при использовании уравнений Эйлера-Лагранжа. Для электромагнитного поля с лагранжианом $L=\frac14F^2$, переменные $A^\mu$, нет $E,B$. Это особенно ясно, если вы напишете действие явно: это функционал $A$, не из $E,B$. Минимизация по отношению к последнему не имеет смысла.

Означает ли это, что $A$является более фундаментальным, чем $E$и $B$?

Следует также отметить, что эта форма тензора напряженности поля основана на использовании уравнений Максвелла, а это означает, что записанный лагранжиан применим только к стационарным конфигурациям поля и не может использоваться для вариационных расчетов.

Вот как работает Эйлер-Лагранж. Например, возьмем старый добрый $L = m \dot{x}^2 / 2 - V(x)$. Если вы определили $y = \dot{x}$и считается $x$и $y$в качестве независимых переменных вы получите тривиальные уравнения. Это неправильно, потому что они не независимы.

Разве это не часть свободного поля? т.е. без зарядов это правильная динамика. Возможно, я здесь тугодум ... Но я не согласен с @AccidentalFourierTransform в том, что уравнения EL должны быть записаны в терминах некоторых конкретных переменных. Наиболее важной особенностью лагранжевого описания, по крайней мере, классически, является то, что вы можете свободно менять переменные и при этом получать инвариантную динамику.

@BobakHashemi Нет, без обвинений вы должны получить уравнения Максвелла. Поле свободно, но это не значит, что поле равно нулю. И не каждый выбор переменной допустим, см. мой пример.

Возможные дубликаты: physics.stackexchange.com/q/53018/2451 , physics.stackexchange.com/q/397633/2451 и ссылки в них.

Из моего ответа там: Вывод плотности Лагранжа для электромагнитного поля , возьмите выражения $\;\left\Vert\mathbf{E}\right\Vert^{2},\left\Vert\mathbf{B}\right\Vert^{2}\;$как функции $\;\phi,\;\mathbf{A}\;$[уравнения (046a)-(046b) там соответственно], замените их в вашей лагранжевой плотности, а затем используйте уравнения Эйлера-Лангранжа, чтобы получить уравнения Максвелла без зарядов и токов ( $\;\rho=0,\;\mathbf{j}=\boldsymbol{0}\;$).