Классическая электродинамика наименьшего действия без потенциалов

1) Ну, на классическом уровне, если нам разрешено вводить вспомогательные переменные, мы всегда можем тривиально закодировать систему уравнений движения

$$\tag{1} {\rm eom}_i = 0, \qquad i\in\{1, \ldots, n\},$$ методом грубой силы с помощью множителей Лагранжа $$\tag{2}\lambda^i, \qquad i\in\{1, \ldots, n\},$$ так что лагранжева плотность просто читается $$\tag{3}{\cal L}~=~\sum_{i=1}^n\lambda^i ~{\rm eom}_i.$$

Это по многим причинам не очень удовлетворительное решение. (Особенно, если мы начнем думать о квантово-механических аспектах. Однако ОП спрашивает только о классической физике.) Тем не менее, приведенные выше тривиальные переписывания (3) иллюстрируют, как трудно сформулировать и доказать беспроигрышные теоремы с помощью герметичных аргументов.

2) Чтобы продолжить, мы должны наложить дополнительные условия на вид принципа действия. Во-первых, поскольку нам запрещено вводить калибровочные потенциалы$A_{\mu}$в качестве фундаментальных переменных (которые мы можем варьировать по принципу действия), будем считать, что фундаментальные ЭМ-переменные в вакууме должны быть заданы${\bf E}$и${\bf B}$поле. Уже в чистом ЭМ невозможно получить$1+1+3+3=8$уравнения Максвелла. (в дифференциальной форме) как уравнения Эйлера-Лагранжа. изменяя только$3+3=6$переменные поля${\bf E}$и${\bf B}$. Так что в конечном итоге нам так или иначе пришлось бы вводить дополнительные переменные поля.

3а) Не станет лучше, если мы попытаемся соединить ЭМ с материей. Разделяя углы теории, мы должны быть в состоянии восстановить хорошо известные частные случаи. Например, в случае ЭМ, связанного с заряженными точечными частицами, скажем, в нерелятивистском пределе, когда нет ЭМ поля, лагранжиан одиночного точечного заряда должен привести к хорошо известному виду

$$\tag{4}L~=~\frac{1}{2}mv^2$$

свободной частицы. Обсуждение уравнения (4) можно найти, например, в этом посте Phys.SE. Здесь мы будем считать, что ур. (4) справедливо в дальнейшем.

3b) Следующий вопрос: что происходит в электростатике?

$$\tag{5} m\dot{\bf v}~=~ q{\bf E}?$$

Ответ известен

$$\tag{6} L~=~\frac{1}{2}mv^2 - V$$

с потенциальной энергией

$$\tag{7}V~=~ q\phi,$$

куда$\phi$— скалярный электрический потенциал. Однако, поскольку нам запрещено вводить потенциал$\phi$как фундаментальную переменную, мы должны интерпретировать ее

$$\tag{8}\phi({\bf r})~:=~-\int^{\bf r} \!d{\bf r}^{\prime}\cdot{\bf E}({\bf r}^{\prime})$$

как функционал электрического поля${\bf E}$, которое, в свою очередь, принимается за фундаментальное поле. Обратите внимание, что уравнения. (6)—(8) соответствуют нелокальному действию.

3c) Прямое обобщение (от точечной механики до теории поля) уравнения. (7) – потенциальная плотность

$$\tag{9}{\cal V}~=~ \rho\phi,$$

куда$\rho$представляет собой плотность электрического заряда. Читатели, знакомые с обычным принципом действия уравнений Максвелла. признаем, что мы очень близки к тому, чтобы утверждать, что член взаимодействия между чистым электромагнитным полем и материей должен иметь форму

$$\tag{10} {\cal L}_{\rm int}~=~J^{\mu}A_{\mu},$$

даже если мы еще не обсудили, что должно заменить стандартный лагранжиан

$$\tag{11} {\cal L}_{\rm EM} ~=~-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$$

для чистого ЭМ.

3d) Оставаясь в электростатике, подумаем о наших перспективах вывода закона Гаусса в дифференциальной форме.

$$\tag{12} \nabla \cdot {\bf E} ~=~ \rho.$$

Очевидно, правая сторона. единственного уравнения _ (12) должно появиться при изменении плотности потенциала (9) относительно один из трех $E$поля, но какое? Подсчет не правильный. А поскольку ур. (9) не является локальным, мы в любом случае получим интегрированную версию$\rho$скорее, чем$\rho$сам, который появляется на rhs. экв. (12), которую мы решили воспроизвести.

3e) В заключение кажется безнадежным связывать ЭМ теорию (с${\bf E}$и${\bf B}$как фундаментальные переменные) и воспроизвести стандартные классические уравнения. движения.

4) Стандартное средство — ввести$4$(глобально определенные) калибровочные потенциалы$A_{\mu}$как фундаментальные переменные. Это делает$1+3=4$уравнения Максвелла без источника. тривиально, а остальные$1+3=4$уравнения Максвелла. с источниками могут быть получены путем изменения wrt. в$4$фундаментальные переменные$A_{\mu}$.

Например, стандартное (специально-релятивистское) действие ЭМ в сочетании с$n$массивные точечные заряды$q_1, \ldots, q_n$, на позициях${\bf r}_1, \ldots, {\bf r}_n$, дается как

$$\tag{13} S[A^{\mu}; {\bf r}_i] ~=~\int \! dt ~L,$$

где лагранжиан

$$\tag{14} L ~=~ -\frac{1}{4}\int \! d^3r ~F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} -\sum_{i=1}^n \left(\frac{m_{0i}c^2}{\gamma({\bf v}_i)} +q_i\{\phi({\bf r}_i) - {\bf v}_i\cdot {\bf A}({\bf r}_i)\} \right).$$

Соответствующие уравнения Эйлера-Лагранжа. находятся$4$уравнения Максвелла. с источниками (при варьировании$A_{\mu})$, и$n$(специальная теория относительности) 2-й закон Ньютона с силами Лоренца (при изменении${\bf r}_i)$.

Я не знаю, возможен ли другой подход, но этот не работает, мы начинаем с тензора$F_{\mu\nu}$:

$$F_{\mu\nu}=\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu}$$

но забудьте о 4-потенциале и определите его как:

$$F^{\mu\nu} = \begin{bmatrix} 0 &-E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \\ E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\ E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\ E_z/c & -B_y & B_x & 0 \end{bmatrix}$$

и напишите плотность Лагранжа как функцию декартовых компонент полей, скажем:

$$\mathcal{L}=\mathcal{L}(E_{x},..,B_{z})$$

и

$$\mathcal{L}=-\frac{1}{\mu_0}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}$$

Затем уравнения Эйлера-Лагранжа дают вам (например, применительно к$E_{x}$)$\displaystyle \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial{E_{x}}}=0$так что это не соответствует.

Как мы можем решить проблему? Мышление в другой лагранжевой плотности, определение новой$F_{\mu\nu}$тензор, более тщательно выбирая независимые поля?

Почему бы не попробовать? например, с лагранжианом особой формы «многочлен второго порядка»

$$\mathcal{L}(x^{\mu},X,\partial_{\mu}X):= \sum_{i,j=1}^6\left( A_{ij} X^i X ^j + \sum_{\mu=0}^3 B^{\mu}_{ij} \partial_{\mu}X^i X ^j +\sum_{\mu,\nu=0}^3 C^{\mu\nu}_{ij} \partial_{\mu} X^i \partial_{\nu} X^j \right) \tag{1}\label{1}$$ в$X=\big(E_x, E_y,E_z, B_x, B_y, B_z \big)$. (Поскольку классические поля$X^i X^j= X^j X^i$коммутирует только симметричная часть$A$и$C$играют роль, поэтому мы можем предположить, что они симметричны.) Принимая во внимание ответ Qmechanics, мы не будем пытаться восстановить все уравнения Максвелла, но давайте, например, попробуем те, которые могут быть «исходными членами»: $$\left\lbrace \begin{aligned} \vec{\nabla}\cdot \vec{\mathbf{E}} &= 0 \\ \vec{\nabla}\wedge \frac{\vec{\mathbf{B}}}{\mu} &= \epsilon_0 \frac{\partial \vec{\mathbf{E}}}{\partial t} \end{aligned} \right. \tag{2}\label{2}$$ С обозначениями ( $\ref{1}$), что соответствует обращению в нуль 4 линейных форм (1 для первого «скалярного» уравнения, 3 для второго векторного уравнения;$X^i$i-я компонента, не что-то в степени i ) $$\left\lbrace \begin{aligned} \alpha(\partial_{\mu}X)&:= \sum_{i=1}^3\sum_{\mu=0}^3 \alpha^{\mu}_{i} \partial_{\mu}X^i = \sum_{i=1}^3\sum_{\mu=0}^3 \delta^{\mu}_{i} \partial_{\mu}X^i = \sum_{i=1}^3 \partial_i X^i \\ \beta(\partial_{\mu}X)&:= \sum_{i=1}^6\sum_{\mu=0}^3 \beta^{\mu}_{i} \partial_{\mu}X^i = \frac{1}{\mu} \left(\partial_y B_z - \partial_z B_y \right) - \epsilon_0 \frac{\partial E_x}{\partial t} = \frac{1}{\mu} \left(\partial_y X^6 - \partial_z X^5 \right) - \epsilon_0 \frac{\partial X^1}{\partial t}\\ \vdots\quad &= \quad \vdots \end{aligned} \right. \tag{3}\label{3}$$ Левая часть уравнения Эйлера-Лагранжа в виде$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial X^i} = \partial_{\mu}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_{\mu}X^i)}$читает $$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial X^i} = \sum_{j=1}^6\left(2 A_{ij} X ^j + \sum_{\mu=0}^3 B^{\mu}_{ji} \partial_{\mu}X^j \right)$$ и правая сторона (с соглашением суммирования Эйнштейна) $$\partial_{\mu}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_{\mu}X^i)} = \partial_{\mu} \left[\sum_{j=1}^6\left( \sum_{\mu=0}^3 B^{\mu}_{ij} X ^j + 2 \sum_{\mu,\nu=0}^3 C^{\mu\nu}_{ij} \partial_{\nu} X^j \right) \right] = \sum_{j=1}^6\left( \sum_{\mu=0}^3 B^{\mu}_{ij} \partial_{\mu}X^j + 2 \sum_{\mu,\nu=0}^3 C^{\mu\nu}_{ij} \partial_{\mu\nu} X^j \right)$$ Видно, что для того, чтобы получить ( $\ref{3}$), лагранжиан не должен иметь слагаемых в$A_{ij}$и$C^{\mu\nu}_{ij}$. Затем $$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial X^i} - \partial_{\mu}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_{\mu}X^i)} = \sum_{j=1}^6 \sum_{\mu=0}^3\left( B^{\mu}_{ji} - B^{\mu}_{ij} \right)\partial_{\mu}X^j$$ (Осторожность:$B^{\mu}_{ij}$обозначение от ( $\ref{1}$), а не магнитное поле...). Играет роль только его антисимметричная часть, поэтому выберем ее антисимметричной, чтобы иметь единственность. Вручную установим для$i=4,\ 0 \leq \mu \leq 3$ $$B^{\mu}_{4j}= - B^{\mu}_{j4}= \delta_j^{\mu}\enspace \text{if}\ 1\leq j \leq 3\quad \text{and}\quad B^{\mu}_{4j}= - B^{\mu}_{j4} = 0\enspace \text{if}\ 4\leq j \leq 6 \tag{4}\label{4}$$ (т.е. очень явно следующий вклад$\ \vec{\mathbf{E}}\cdot \vec{\nabla} B_x - B_x \big(\vec{\nabla} \cdot \vec{\mathbf{E}} \big)$к лагранжиану ( $\ref{1}$))

Это действительно дает первое уравнение ($\ref{3}$) ($-1$). За$i=2,\ 0 \leq \mu \leq 3$, давайте попробуем

$$B_{26}^2 = - B_{62}^2= \frac{-1}{2\mu}\ ,\quad B_{25}^3 = - B_{52}^3= \frac{1}{2\mu}\ ,\quad B_{21}^0 = - B_{12}^0= \frac{\epsilon_0}{2} \tag{5}\label{5}$$ и$B_{2j}^{\mu}= B_{j2}^{\mu}=0$для всех остальных$(i=2,\mu,j)$отличные от вышеперечисленных.

(Явный вклад в лагранжиан:

$$-\frac{1}{2\mu}\left( \partial_y E_y\, B_z - \partial_y B_z\, E_y\right) +\frac{1}{2\mu}\left( \partial_z E_y\, B_y - \partial_z B_y\, E_y\right) +\frac{\epsilon_0}{2}\left( \partial_t E_y\, E_x - \partial_t E_x\, E_y\right)$$ )

Частичный вывод: в этом пункте вроде бы нет противоречия. За каждый фиксированный$\mu,\ (B^{\mu}_{ij})$это$6\times 6$антисимметричная матрица, поэтому 5 независимых коэффициентов и$20$в целом. Внушительно восстановить($\ref{2}$-$\ref{3}$) должен наивно сводить возможности к векторному пространству размерности$20-4=16$но примеры($\ref{4}$-$\ref{5}$) показывают, что, вероятно, следует дважды подумать.

В классической электродинамике представляющими интерес физическими величинами являются поля. Теория уже сформулирована «без» потенциалов, если вспомнить уравнения Максвелла.

Потенциалы вступают в игру позже, если вы хотите упростить уравнения и найти решения, используя, например, функции Грина и т. д. Однако в квантовой электродинамике потенциалы приобретают реальную физическую роль, см., например, эффект Ахаранова-Бома.