Вывод уравнений Максвелла из лагранжиана тензора поля

Мы варьируем действие

$$\delta \int {L\;\mathrm{d}t} = \delta \int {\int {\Lambda \left( {A_\nu ,\partial _\mu A_\nu } \right)\mathrm{d}^3 x\;\mathrm{d}t = 0} }$$ ${\Lambda \left( {A_\nu ,\partial _\mu A_\nu } \right)}$– плотность лагранжиана системы.

Так,

$$\int {\int {\left( {\frac{{\partial \Lambda }}{{\partial A_\nu }}\delta A_\nu + \frac{{\partial \Lambda }}{{\partial \left( {\partial _\mu A_\nu } \right)}}\delta \left( {\partial _\mu A_\nu } \right)} \right)\mathrm{d}^3 x\;\mathrm{d}t = 0} }$$ Интегрируя по частям, получаем: $$\int {\int {\left( {\frac{{\partial \Lambda }}{{\partial A_\nu }} - \partial _\mu \frac{{\partial \Lambda }}{{\partial \left( {\partial _\mu A_\nu } \right)}}} \right)\delta A_\nu \mathrm{d}^3 x\;\mathrm{d}t = 0} } \implies \frac{{\partial \Lambda }}{{\partial A_\nu }} - \partial _\mu \frac{{\partial \Lambda }}{{\partial \left( {\partial _\mu A_\nu } \right)}} = 0$$ Нам нужно определить плотность лагранжиана. Один термин касается взаимодействия зарядов с электромагнитным полем, $J^\mu A_\mu$. Другой термин — плотность энергии электромагнитного поля: этот термин представляет собой разность магнитного поля и электрического поля. Итак, у нас есть: $$\Lambda = J^\mu A_\mu + \frac{1}{{4\mu _0 }}F^{\mu \nu } F_{\mu \nu }$$ У нас есть: $$\frac{{\partial \Lambda }}{{\partial A_\nu }} = J^\nu$$ так: $$\begin{align}\partial _\mu \frac{{\partial \Lambda }}{{\partial \left( {\partial _\mu A_\nu } \right)}} &= \frac{1}{{4\mu _0 }}\partial _\mu \left( {\frac{\partial }{{\partial \left( {\partial _\mu A_\nu } \right)}}F^{\kappa \lambda } F_{\kappa \lambda } } \right) \\&= \frac{1}{{4\mu _0 }}\partial _\mu \left( {\frac{\partial }{{\partial \left( {\partial _\mu A_\nu } \right)}}\left( {\left( {\partial ^\kappa A^\lambda - \partial ^\lambda A^\kappa } \right)\left( {\partial _\kappa A_\lambda - \partial _\lambda A_\kappa } \right)} \right)} \right) \\&= \frac{1}{{4\mu _0 }}\partial _\mu \left( {\frac{\partial }{{\partial \left( {\partial _\mu A_\nu } \right)}}\left( {\partial ^\kappa A^\lambda \partial _\kappa A_\lambda - \partial ^\kappa A^\lambda \partial _\lambda A_\kappa - \partial ^\lambda A^\kappa \partial _\kappa A_\lambda + \partial ^\lambda A^\kappa \partial _\lambda A_\kappa } \right)} \right)\end{align}$$ Третий и четвертый совпадают с первым и вторым слагаемыми. Ты можешь сделать $k \leftrightarrow \lambda$: $$\begin{align}\partial _\mu \frac{{\partial \Lambda }}{{\partial \left( {\partial _\mu A_\nu } \right)}} & = \frac{1}{{2\mu _0 }}\partial _\mu \left( {\frac{\partial }{{\partial \left( {\partial _\mu A_\nu } \right)}}\left( {\partial ^\kappa A^\lambda \partial _\kappa A_\lambda - \partial ^\kappa A^\lambda \partial _\lambda A_\kappa } \right)} \right)\;.\end{align}$$ Но $$\begin{align}\frac{\partial }{{\partial \left( {\partial _\mu A_\nu } \right)}}\left( {\partial ^\kappa A^\lambda \partial _\kappa A_\lambda } \right) &= \partial ^\kappa A^\lambda \frac{\partial }{{\partial \left( {\partial _\mu A_\nu } \right)}}\left( {\partial _\kappa A_\lambda } \right) + \partial _\kappa A_\lambda \frac{\partial }{{\partial \left( {\partial _\mu A_\nu } \right)}}\left( {\partial ^\kappa A^\lambda } \right) \\ &= \partial ^\kappa A^\lambda \delta _\kappa ^\mu \delta _\lambda ^\nu + g^{\kappa \alpha } g^{\lambda \beta } \partial _\kappa A_\lambda \frac{\partial }{{\partial \left( {\partial _\mu A_\nu } \right)}}\left( {\partial _\alpha A_\beta } \right)\\& = 2\partial ^\mu A^\nu \;.\end{align}$$

У нас есть:

$$\begin{align}\frac{\partial }{{\partial \left( {\partial _\mu A_\nu } \right)}}\left( {\partial ^\kappa A^\lambda \partial _\lambda A_\kappa } \right) &= 2\partial ^\nu A^\mu \;. \end{align}$$

Так,

$$\begin{align}\partial _\mu \left( {\frac{{\partial \Lambda }}{{\partial \left( {\partial _\mu A_\nu } \right)}}} \right)& = \frac{1}{{\mu _0 }}\partial _\mu \left( {\partial ^\mu A^\nu - \partial ^\nu A^\mu } \right)\\ & = \frac{1}{{\mu _0 }}\partial _\mu F^{\mu \nu } \;.\end{align}$$ Уравнения Лагранжа дают неоднородные уравнения Максвелла:

$$\partial _\mu F^{\mu \nu } = \mu _0 J^\nu \;.$$

Ну, ты почти у цели. Используйте тот факт, что

$${\partial (\partial_{\mu} A_{\nu}) \over \partial(\partial_{\rho} A_{\sigma})} = \delta_{\mu}^{\rho} \delta_{\nu}^{\sigma}$$ что справедливо, потому что $\partial_{\mu} A_{\nu}$находятся $d^2$независимые компоненты.

Уважаемый amc, во-первых, напишите свою лагранжеву плотность как

$$L = -\frac{1}{4} F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} = -\frac{1}{2} (\partial_\mu A_\nu) F^{\mu\nu}$$ Это пока нормально? $F_{\mu\nu}$содержит два члена, которые делают его антисимметричным по двум индексам. Однако он умножается на другой $F^{\mu\nu}$это уже антисимметрично, поэтому мне не нужно его снова антисимметрично. Вместо этого оба термина дают мне одно и то же, поэтому коэффициент $-1/4$просто меняется на $-1/2$.

Теперь уравнения поля заставляют вас вычислять производные лагранжиана по$A_\mu$и его производные. Во-первых, производная лагранжиана$L$в отношении$A_\mu$компоненты сами по себе равны нулю, поскольку лагранжиан зависит только от частных производных$A_\mu$. Это пока ясно?

Таким образом, уравнения движения будут

$$0 = -\partial_\mu [\partial L / \partial(\partial_\mu A_\nu)] = \dots$$ Упс, ты уже добрался до этого места. Но теперь посмотрите на мою форму лагранжиана выше. Производная лагранжиана по $\partial_\mu A_\nu$просто $$-\frac{1}{2} F^{\mu\nu}$$ потому что $\partial_\mu A_\nu$просто появляется как фактор, поэтому уравнения движения будут просто $$0 = +\frac{1}{2} \partial_\mu F^{\mu\nu}$$ Однако я намеренно допустил одну ошибку. Я продифференцировал лагранжиан только по $\partial_\mu A_\nu$входит в первый фактор $F_{\mu\nu}$, с нижними индексами. Однако, $\partial_\mu A_\nu$компоненты также появляются в $F^{\mu\nu}$, второй множитель в лагранжиане, один с верхними индексами. Если вы добавите соответствующие члены из правила Лейбница, результат просто удвоится. Таким образом, правильное уравнение движения с учетом натурального коэффициента будет $$0 = \partial_\mu F^{\mu\nu}$$ Общая нормализация важна, потому что это уравнение может получить дополнительные члены, такие как ток, коэффициент которого очевиден, и вы не хотите получить относительную ошибку в два между производной от $F$и текущий $j$.

Ура Любош

Несмотря на то, что я опоздал на вечеринку, я публикую ответ на элементарном уровне. Может быть, это доказывает силу тензорного исчисления, использованного во всех предыдущих хороших ответах.

Абстрактный

^{В этом ответе мы попытаемся вывести уравнения Максвелла в пустом пространстве.}

$$\begin{align} \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{E} & = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \tag{001a}\\ \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{B} & = \mu_{0}\mathbf{j}+\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \tag{001b}\\ \nabla \boldsymbol{\cdot} \mathbf{E} & = \frac{\rho}{\epsilon_{0}} \tag{001c}\\ \nabla \boldsymbol{\cdot}\mathbf{B}& = 0 \tag{001d} \end{align}$$ из уравнений Эйлера-Лагранжа $$\begin{equation} \boxed{\: \dfrac{\partial }{\partial t}\left(\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\eta}_{\jmath}}\right) + \nabla \boldsymbol{\cdot}\left[\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left(\boldsymbol{\nabla}\eta_{\jmath}\right)}\right]- \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \eta_{\jmath}}=0, \quad \left(\jmath=1,2,3,4\right) \:} \tag{002} \end{equation}$$ куда $$\begin{equation} \mathcal{L}=\mathcal{L}\left(\eta_{\jmath}, \dot{\eta}_{\jmath}, \boldsymbol{\nabla}\eta_{\jmath}\right) \qquad \left(\jmath=1,2,3,4\right) \tag{003} \end{equation}$$ - лагранжева плотность вопроса (кроме постоянного множителя) $$\begin{equation} \boxed{\: \mathcal{L}=\dfrac{\Vert\mathbf{E}\Vert^{2}-c^{2}\Vert\mathbf{B}\Vert^{2}}{2}+\dfrac{1}{\epsilon_{0}}\left( -\rho \phi + \mathbf{j}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{A}\right) \:} \tag{004} \end{equation}$$ а также $\:\eta_{\jmath}\left( x_{1},x_{2},x_{3},t\right), \:\:\jmath=1,2,3,4\:$компоненты $\:A_{1},\:A_{2},\:A_{3},\phi\:$4-вектора ЭМ потенциала соответственно. В некотором смысле этот вывод построен на обратном (: это поиск правильной лагранжевой плотности из уравнений Максвелла) путем движения назад, см. мой ответ здесь: Вывод лагранжевой плотности для электромагнитного поля

1. Основная часть

Сначала мы выражаем$\:\mathbf{E},\mathbf{B}\:$(004) через потенциальные 4-векторные компоненты$\:A_{1},\:A_{2},\:A_{3},\phi\:$

$$\begin{align} \mathbf{B} & = \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{A} \tag{005a}\\ \mathbf{E} & = -\boldsymbol{\nabla}\phi -\dfrac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} = -\boldsymbol{\nabla}\phi - \mathbf{\dot{A}} \tag{005b} \end{align}$$ Из (005) автоматически получаются уравнения Максвелла (001a) и (001d). Таким образом, четыре (4) скалярных уравнения Максвелла (001b) и (001c) должны быть получены из четырех (4) скалярных уравнений Эйлера-Лагранжа (002). Кроме того, разумно предположить, что векторное уравнение (001b) должно быть получено из (002) относительно компонент векторного потенциала $\:\mathbf{A}=\left(A_{1},\:A_{2},\:A_{3}\right)\:$, а скалярное уравнение (001c) должно быть получено из (002) относительно скалярного потенциала $\:\phi\:$.

Из уравнений (005) выразим плотность лагранжиана (004) через потенциальные 4-векторные компоненты$\:A_{1},\:A_{2},\:A_{3},\phi\:$:

$$\begin{align} \left\Vert\mathbf{E}\right\Vert^{2} & = \left\Vert - \boldsymbol{\nabla}\phi -\dfrac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}\right\Vert^{2} = \left\Vert \mathbf{\dot{A}}\right\Vert^{2}+\Vert \boldsymbol{\nabla}\phi \Vert^{2}+2\left(\boldsymbol{\nabla}\phi \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\dot{A}}\right) \tag{006a}\\ & \nonumber\\ \left\Vert\mathbf{B}\right\Vert^{2} & = \left\Vert\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{A}\right\Vert^{2} \equiv \sum^{k=3}_{k=1}\left[\Vert \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\Vert^{2}-\dfrac{\partial \mathbf{A}}{\partial x_{k}}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\right] \tag{006b} \end{align}$$ Второе уравнение в (006b), то есть тождество $$\begin{equation} \left\Vert\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{A}\right\Vert^{2} \equiv \sum^{k=3}_{k=1}\left[\Vert \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\Vert^{2}-\dfrac{\partial \mathbf{A}}{\partial x_{k}}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\right] \tag{Id-01} \end{equation}$$ доказано в 2. Разделе тождеств . Подставляя выражения (006) в (004), плотность лагранжиана равна ^{$$\begin{equation} \mathcal{L}=\underbrace{\tfrac{1}{2}\left\Vert \mathbf{\dot{A}}\right\Vert^{2}+\tfrac{1}{2}\Vert \boldsymbol{\nabla}\phi \Vert^{2}+\boldsymbol{\nabla}\phi \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\dot{A}}}_{\tfrac{1}{2}\left\Vert - \boldsymbol{\nabla}\phi -\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}\right\Vert^{2}}-\tfrac{1}{2}c^{2}\underbrace{\sum^{k=3}_{k=1}\left[\Vert \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\Vert^{2}-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial x_{k}}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\right]}_{\left\Vert \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{A}\right\Vert^{2}}+\frac{1}{\epsilon_{0}}\left( -\rho \phi + \mathbf{j}\boldsymbol{\cdot} \mathbf{A}\right) \tag{007} \end{equation}$$}

Мы переставляем элементы в (007) следующим образом:

$$\begin{align} \mathcal{L} & = \overbrace{\tfrac{1}{2}\Vert \boldsymbol{\nabla}\phi \Vert^{2}-\frac{\rho \phi}{\epsilon_{0}}+\boldsymbol{\nabla}\phi \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\dot{A}}}^{\mathcal{L}_{\phi}=\text{with respect to }\phi}+\tfrac{1}{2}\left\Vert \mathbf{\dot{A}}\right\Vert^{2}+\tfrac{1}{2}c^{2}\sum^{k=3}_{k=1}\left[\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial x_{k}} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}-\Vert \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\Vert^{2}\right]+\frac{\mathbf{j} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{A}}{\epsilon_{0}} \tag{008a}\\ \mathcal{L} & = \tfrac{1}{2}\Vert \boldsymbol{\nabla}\phi \Vert^{2}-\frac{\rho \phi}{\epsilon_{0}}+\underbrace{\boldsymbol{\nabla}\phi\boldsymbol{\cdot} \mathbf{\dot{A}}+\tfrac{1}{2}\left\Vert \mathbf{\dot{A}}\right\Vert^{2}+\tfrac{1}{2}c^{2}\sum^{k=3}_{k=1}\left[\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial x_{k}} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}-\Vert\boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\Vert^{2}\right]+\frac{\mathbf{j}\boldsymbol{\cdot} \mathbf{A}}{\epsilon_{0}}}_{\mathcal{L}_{\mathbf{A}}=\text{with respect to }\mathbf{A}} \tag{008b} \end{align}$$

The $\:\mathcal{L}_{\phi}\:$часть плотности содержит все$\:\phi$-члены и разумно будут участвовать только в выводе уравнения Максвелла (001c) из уравнения Эйлера-Лагранжа (002) относительно$\:\eta_{4}=\phi\:$. $\:\mathcal{L}_{\mathbf{A}}\:$часть плотности содержит все$\: \mathbf{A}$-члены и разумно будут участвовать только в выводе уравнения Максвелла (001b) из уравнений Эйлера-Лагранжа (002) относительно$\:\eta_{1},\eta_{2},\eta_{3}=A_{1},A_{1},A_{3}\:$. Обратите внимание на общий термин$\:\boldsymbol{\nabla}\phi \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\dot{A}}\:$частей$\:\mathcal{L}_{\phi},\mathcal{L}_{\mathbf{A}}\:$.

Уравнение Эйлера-Лагранжа относительно$\:\eta_{4}=\phi\:$является :

$$\begin{equation} \dfrac{\partial }{\partial t}\overbrace{\left(\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\phi}}\right)}^{0} +\nabla \boldsymbol{\cdot}\overbrace{\left[\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left(\boldsymbol{\nabla}\phi\right)}\right]}^{\boldsymbol{\nabla}\phi+\mathbf{\dot{A}}}-\overbrace{\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}}^{-\frac{\rho }{\epsilon_{0}}}=0 \tag{009} \end{equation}$$ или же $$\begin{equation} \nabla \boldsymbol{\cdot}\underbrace{\left(-\boldsymbol{\nabla}\phi -\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}\right)}_{\mathbf{E}}= \frac{\rho }{\epsilon_{0}} \tag{010} \end{equation}$$ то есть уравнение Максвелла (001c) $$\begin{equation} \nabla \boldsymbol{\cdot}\mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_{0}} \tag{001c} \end{equation}$$

Для вывода уравнения Максвелла (001b) выразим его с помощью уравнений (005) через потенциальные 4-векторные компоненты$\:A_{1},\:A_{2},\:A_{3},\phi\:$:

$$\begin{equation} \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \left(\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{A}\right) =\mu_{0}\mathbf{j}+\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial }{\partial t}\left(-\boldsymbol{\nabla}\phi -\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}\right) \tag{011} \end{equation}$$ Использование личности $$\begin{equation} \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \left( \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{A}\right) =\boldsymbol{\nabla}\left(\nabla \boldsymbol{\cdot}\mathbf{A}\right)- \nabla^{2}\mathbf{A} \tag{012} \end{equation}$$ уравнение (011) дает $$\begin{equation} \frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}\mathbf{A}}{\partial t^{2}}-\nabla^{2}\mathbf{A}+ \boldsymbol{\nabla}\left(\nabla \boldsymbol{\cdot} \mathbf{A}+\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial \phi}{\partial t}\right) =\mu_{0}\mathbf{j} \tag{013} \end{equation}$$ The $\:k$-компонент уравнения (013) выражается правильно, чтобы выглядеть как уравнение Эйлера-Лагранжа следующим образом: $$\begin{equation} \dfrac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial \mathrm{A}_{k}}{\partial t}+\frac{\partial \phi}{\partial x_{k}}\right)+\nabla \boldsymbol{\cdot} \left[c^{2}\left(\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial x_{k}}- \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\right)\right] -\frac{\mathrm{j}_{k}}{\epsilon_{0}}=0 \tag{014} \end{equation}$$ Этого достаточно, чтобы достичь выше экв. (014) из уравнения Эйлера-Лагранжа (002) относительно $\:\eta_{k}=A_{k},\:\: k=1,2,3\:$:

$$\begin{equation} \dfrac{\partial }{\partial t}\left(\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{A}_{k}}\right) + \nabla \boldsymbol{\cdot}\left[\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left(\boldsymbol{\nabla}A_{k}\right)}\right]- \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A_{k}}=0 \tag{015} \end{equation}$$

В настоящее время

$$\begin{equation} \dfrac{\partial\mathcal{L} }{\partial \dot{A}_{k}}=\dfrac{\partial }{\partial \dot{A}_{k}}\left( \boldsymbol{\nabla}\phi \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\dot{A}}+\tfrac{1}{2}\left\Vert \mathbf{\dot{A}}\right\Vert^{2}\right)=\frac{\partial \phi}{\partial x_{k}}+\frac{\partial \mathrm{A}_{k}}{\partial t} \tag{016a} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A_{k}}=\frac{\partial }{\partial A_{k}}\left(\frac{\mathbf{j} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{A}}{\epsilon_{0}}\right)=\frac{\mathrm{j}_{k}}{\epsilon_{0}} \tag{016b} \end{equation}$$ а также $$\begin{equation} \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left(\boldsymbol{\nabla}A_{k}\right)}=\dfrac{\partial}{\partial\left(\boldsymbol{\nabla}A_{k}\right)}\left(\tfrac{1}{2}c^{2}\sum^{k=3}_{k=1}\left[\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial x_{k}} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}-\Vert \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\Vert^{2}\right]\right)=c^{2}\left(\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial x_{k}}- \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\right) \tag{016c} \end{equation}$$ Последнее уравнение в (016c) верно благодаря тождеству (Id-02), доказанному в разделе 2. Тождества : $$\begin{equation} \dfrac{\partial \left( \left|\!\left| \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{A}\right|\!\right|^{2}\right) }{\partial \left(\boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\right)}=\dfrac{\partial}{\partial \left(\boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\right)}\left(\sum^{k=3}_{k=1}\left[\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial x_{k}} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}-\Vert \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\Vert^{2}\right]\right) =2\left( \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial x_{k}}\right) \tag{Id-02} \end{equation}$$ Используя выражения уравнений (016), уравнение Эйлера-Лагранжа (015) дает (014) и, следовательно, уравнение Максвелла (001b).

2. Раздел личных данных

^{Если$\: \mathbf{A}= \left( \mathrm{A}_{1}, \mathrm{A}_{2}, \mathrm{A}_{3}\right) \:$является векторной функцией декартовых координат$\:\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right)\:$тогда}

$$\begin{equation} \left\Vert\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{A}\right\Vert^{2} \equiv \sum^{k=3}_{k=1}\left[\Vert \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\Vert^{2}-\dfrac{\partial \mathbf{A}}{\partial x_{k}}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\right] \tag{Id-01} \end{equation}$$ а также
$$\begin{equation} \dfrac{\partial \left( \left|\!\left| \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{A}\right|\!\right|^{2}\right) }{\partial \left(\boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\right)}=\dfrac{\partial}{\partial \left(\boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\right)}\left(\sum^{k=3}_{k=1}\left[\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial x_{k}} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}-\Vert \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\Vert^{2}\right]\right) =2\left( \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial x_{k}}\right) \tag{Id-02} \end{equation}$$ где функциональная производная левой части определяется как $$\begin{equation} \dfrac{\partial \left( \left|\!\left| \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{A}\right|\!\right|^{2}\right) }{\partial \left(\boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\right)}\equiv \left[\dfrac{\partial \left( \left|\!\left| \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{A}\right|\!\right|^{2}\right) }{\partial \left(\dfrac{\partial \mathrm{A}_{k}}{\partial x_{1}}\right)},\dfrac{\partial \left( \left|\!\left| \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{A}\right|\!\right|^{2}\right) }{\partial \left(\dfrac{\partial \mathrm{A}_{k}}{\partial x_{2}}\right)},\dfrac{\partial \left( \left|\!\left| \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{A}\right|\!\right|^{2}\right) }{\partial \left(\dfrac{\partial \mathrm{A}_{k}}{\partial x_{3}}\right)} \right] \tag{Id-03} \end{equation}$$ Доказательство уравнения (Id-01): $$\begin{eqnarray*} && \left|\!\left| \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{A}\right|\!\right|^{2} =\left(\frac{\partial A_{3}}{\partial x_{2}}-\frac{\partial A_{2}}{\partial x_{3}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{3}}-\frac{\partial A_{3}}{\partial x_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial A_{2}}{\partial x_{1}}-\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{2}}\right)^{2}\\ %---------------------------------------- &=& \left[\left(\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{2}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{3}}\right)^{2}\right]+\left[\left(\frac{\partial A_{2}}{\partial x_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial A_{2}}{\partial x_{3}}\right)^{2}\right]+\left[\left(\frac{\partial A_{3}}{\partial x_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial A_{3}}{\partial x_{2}}\right)^{2}\right] \\ %---------------------------------------- &&-2\left[\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{2}}\frac{\partial A_{2}}{\partial x_{1}} +\frac{\partial A_{2}}{\partial x_{3}}\frac{\partial A_{3}}{\partial x_{2}}+\frac{\partial A_{3}}{\partial x_{1}}\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{3}}\right]\\ %---------------------------------------- &=& \left[\left(\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{2}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{3}}\right)^{2}\right] +\left[\left(\frac{\partial A_{2}}{\partial x_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial A_{2}}{\partial x_{2}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial A_{2}}{\partial x_{3}}\right)^{2}\right] \\ %---------------------------------------- &&+\left[\left(\frac{\partial A_{3}}{\partial x_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial A_{3}}{\partial x_{2}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial A_{3}}{\partial x_{3}}\right)^{2}\right] -\left[\left(\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial A_{2}}{\partial x_{2}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial A_{3}}{\partial x_{3}}\right)^{2}\right]\\ %---------------------------------------- &&-2\left[\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{2}}\frac{\partial A_{2}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial A_{2}}{\partial x_{3}}\frac{\partial A_{3}}{\partial x_{2}}+\frac{\partial A_{3}}{\partial x_{1}}\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{3}}\right]\\ %---------------------------------------- &=& \Vert \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{1}\Vert^{2}+\Vert \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{2}\Vert^{2}+\Vert \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{3}\Vert^{2}-\left(\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{1}}\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial A_{2}}{\partial x_{1}}\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{2}}+ \frac{\partial A_{3}}{\partial x_{1}}\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{3}} \right)\\ %---------------------------------------- &&-\left(\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{2}}\frac{\partial A_{2}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial A_{2}}{\partial x_{2}}\frac{\partial A_{2}}{\partial x_{2}}+ \frac{\partial A_{3}}{\partial x_{2}}\frac{\partial A_{2}}{\partial x_{3}} \right)-\left(\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{3}}\frac{\partial A_{3}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial A_{2}}{\partial x_{3}}\frac{\partial A_{3}}{\partial x_{2}}+ \frac{\partial A_{3}}{\partial x_{3}}\frac{\partial A_{3}}{\partial x_{3}} \right)\\ %---------------------------------------- &=& \Vert \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{1}\Vert^{2}+\Vert \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{2}\Vert^{2}+\Vert \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{3}\Vert^{2}- \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial x_{1}}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{1}-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial x_{2}}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{2}-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial x_{3}}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{3}\\ %---------------------------------------- &=&\sum^{k=3}_{k=1}\left[\Vert \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\Vert^{2}-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial x_{k}} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\right] \end{eqnarray*}$$ Доказательство уравнения (Id-02): Из уравнения $$\begin{eqnarray*} && \left|\!\left| \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{A}\right|\!\right|^{2} =\left(\frac{\partial A_{3}}{\partial x_{2}}-\frac{\partial A_{2}}{\partial x_{3}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{3}}-\frac{\partial A_{3}}{\partial x_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial A_{2}}{\partial x_{1}}-\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{2}}\right)^{2}\\ %---------------------------------------- &=& \left[\left(\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{2}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{3}}\right)^{2}\right]+\left[\left(\frac{\partial A_{2}}{\partial x_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial A_{2}}{\partial x_{3}}\right)^{2}\right]+\left[\left(\frac{\partial A_{3}}{\partial x_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial A_{3}}{\partial x_{2}}\right)^{2}\right] \\ %---------------------------------------- &&-2\left[\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{2}}\frac{\partial A_{2}}{\partial x_{1}} +\frac{\partial A_{2}}{\partial x_{3}}\frac{\partial A_{3}}{\partial x_{2}}+\frac{\partial A_{3}}{\partial x_{1}}\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{3}}\right] \end{eqnarray*}$$ у нас есть $$\begin{eqnarray*} \dfrac{\partial \left( \left|\!\left| \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{A}\right|\!\right|^{2}\right) }{\partial \left(\dfrac{\partial \mathrm{A}_{1}}{\partial x_{1}}\right)} &=& 0 =2\left(\dfrac{\partial \mathrm{A}_{1}}{\partial x_{1}}-\dfrac{\partial \mathrm{A}_{1}}{\partial x_{1}} \right)\\ \dfrac{\partial \left( \left|\!\left| \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{A}\right|\!\right|^{2}\right) }{\partial \left(\dfrac{\partial \mathrm{A}_{1}}{\partial x_{2}}\right)} &=& 2\left(\dfrac{\partial \mathrm{A}_{1}}{\partial x_{2}}-\dfrac{\partial \mathrm{A}_{2}}{\partial x_{1}} \right) \\ \dfrac{\partial \left( \left|\!\left| \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{A}\right|\!\right|^{2}\right) }{\partial \left(\dfrac{\partial \mathrm{A}_{1}}{\partial x_{3}}\right)} &=& 2\left(\dfrac{\partial \mathrm{A}_{1}}{\partial x_{3}}-\dfrac{\partial \mathrm{A}_{3}}{\partial x_{1}} \right) \end{eqnarray*}$$ Так $$\begin{equation*} \dfrac{\partial \left( \left|\!\left| \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{A}\right|\!\right|^{2}\right) }{\partial \left(\boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{1}\right)}= 2\left( \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{1}-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial x_{1}}\right) \end{equation*}$$ доказывающее уравнение (Id-02) для $\:k=1\:$и аналогично для двух других компонентов $\:k=2,3$.

Один из способов состоит в том, чтобы изменить действие Максвелла (установить$J^\mu = 0$если хотите, для случая без исходников)

$$S = \int d^4 x {\mathcal{L}} = - \int d^4 x \left(\frac{1}{4} F^{\mu \nu} F_{\mu \nu} + J^\mu A_\mu\right).$$ Сначала обратите внимание, что $$\begin{align} \delta \left(F^{\mu \nu} F_{\mu \nu}\right) &= 2 F^{\mu \nu} \delta F_{\mu \nu} \\ &= 2 F^{\mu \nu} \left(\partial_\mu \delta A_\nu - \partial_\nu \delta A_\mu\right) \\ &= 4 F^{\mu \nu} \partial_\mu \delta A_\nu \\ &= 4\left[\partial_\mu\left(F^{\mu \nu} \delta A_\nu\right) - \partial_\mu F^{\mu \nu} \delta A_\nu\right], \end{align}$$ где мы использовали тот факт, что $F$является антисимметричным.

Заметьте также, что$\partial_\mu\left(F^{\mu \nu} \delta A_\nu\right)$член будет равен нулю при преобразовании его в поверхностный интеграл с использованием стандартного аргумента, что$\delta A_\mu$обращается в нуль на границе интегрирования.

Используя вышеизложенное, вариант действия

$$\delta S = - \int d^4x \ \delta A_\nu \left(-\partial_\mu F^{\mu \nu} + J^\nu \right),$$ который, поскольку $\delta A_\nu$произвольно, дает желаемый результат $$\partial_\mu F^{\mu \nu} = J^\nu.$$