Полуограниченность операторов Шрёдингера

Оператор$H$ограничен снизу, если все его внутренние произведения$\langle\psi,H\psi\rangle$ограничены снизу. Таким образом, мы можем легко вычислить

$$\langle\psi,H\psi\rangle=\int_{\mathbb{R}^n}\mathrm{d}\textbf{x}\,\psi^*(\textbf{x})\left(-\Delta+V(\textbf{x})\right)\psi(\textbf{x}).$$

Интегрирование этого выражения по частям дает

$$\langle\psi,H\psi\rangle=\int_{\mathbb{R}^n}\mathrm{d}\textbf{x}\,\left(\left|\boldsymbol{\nabla}\psi\right|^2+\psi^*(\textbf{x})V(\textbf{x})\psi(\textbf{x})\right)=\langle\boldsymbol{\nabla}\psi,\boldsymbol{\nabla}\psi\rangle+\langle\psi,V\psi\rangle\geq\langle\psi,V\psi\rangle.$$

Таким образом, пока$V$ограничен снизу, то$H$ограничен снизу. Это, конечно, не двустороннее следствие. Бывают случаи, когда$V$неограничен снизу, но$H$по-прежнему ограничен снизу.

Надеюсь, это поможет!

Локально интегрируемая с квадратом потенциальная функция$V\in {\cal L}^{2}_\mathrm{loc}(\mathbb{R}^{n})$не гарантирует, что$H$ограничен снизу. Рассмотрим, например, линейный потенциал

$$V(\vec{r}) ~=~ -\vec{E}\cdot \vec{r}, \qquad \vec{E}~\neq~\vec{0}.$$