Помимо гамильтоновой и лагранжевой механики

Существует также формализм механики Рута, который описывается как гибрид лагранжевой и гамильтоновой механики. Рутианец определяется как

$$R = \sum_{i=1}^n p_i\dot{q}_i - L$$ Вы можете узнать больше об этом, щелкнув эту ссылку для описания этого в Википедии.

Читая больше о рутиане, потому что мне было скучно, я понял, что он определяется как частичное преобразование Лежандра лагранжиана, а также на языке дифференциальной геометрии он определяется аналогично лагранжиану как

$$R^\mu : TM \to \mathbb{R}$$ где $$R^\mu(q, \dot{q}) = L(q, \dot{q}) - \langle A(q, \dot{q}), \mu\rangle$$ где $A$- срок механической связи. Подробнее об этом можно прочитать в этом pdf .

Стоит отметить, что формализмы Гамильтона и Лагранжа независимы, хотя их обычно преподают так, как если бы первый был фильтрацией второго (здесь введите преобразования Лежандра). Оба формализма так же независимы, как понятия касательного и кокасательного расслоений в дифференциальной геометрии: независимы, но внутренне связаны.

Кроме того, существует третий формализм: формализм Гамильтона-Якоби. Оно так же хорошо, как и два других, и несет в себе совершенно иную интерпретацию уравнений движения. Все эти формализмы глубоко связаны между собой, и каждый из них имеет свои преимущества и геометрическую интерпретацию.

И последнее замечание: вы можете придумать множество других интерпретаций механики. Есть столько, сколько вы хотите. Примером нового, но полезного, является интерпретация центральной хорды , связанная с интерпретацией Вейля-Вигнера квантовой механики. Пока ваши преобразования каноничны, нет предела созданию новых точек зрения в Механике.

Все различные «свободные энергии» термодинамики — это всего лишь преобразование Лежандра (а иногда и несколько) от простой старой энергии.

• Чтобы получить свободную энергию Гельмгольца из энергии, вы выполняете преобразование Лежандра между энтропией и температурой.

• Чтобы получить энтальпию из энергии, вы выполняете преобразование Лежандра между объемом и давлением.

• Чтобы получить свободную энергию Гиббса из энергии, вы выполняете два преобразования Лежандра, одно между энтропией и температурой, а другое между объемом и давлением.

• И так далее (есть и другие, но они менее распространены в применении). В частности, при необходимости вы можете заменить описание в термах числа частиц на описание в терминах химических потенциалов.