Какие канонические импульсы являются «правильными»?

Question

Какие канонические импульсы являются «правильными»?

Кнчжоу

Я делаю классические упражнения по теории поля с лагранжианом.

л "=" - \frac{1}{4} Ф_{мю ν} Ф^{мю ν}

$\mathscr{L} = -\frac{1}{4}F_{\mu \nu}F^{\mu \nu}$ где

F_{μ ν} = \partial_{μ} A_{ν} - \partial_{ν} A_{μ}

$F_{\mu \nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu$ . Чтобы найти сопряженные импульсы

π_{ν}^{μ} = \partial L / \partial (\partial_{μ} A^{ν})

$\pi^\mu_{\ \ \ \nu} = \partial \mathscr{L} / \partial(\partial_\mu A^\nu)$ , я могу использовать два метода.

Первый метод: непосредственно применить это к $\mathscr{L}$ . Мы получаем множитель $2$ так как есть два $F$ , и еще один фактор $2$ так как каждый $F$ содержит два $\partial_\mu A_\nu$ условия, предоставление

π_{ν}^{мю} "=" - Ф_{ν}^{мю} .

$\pi^\mu_{\ \ \ \nu} = -F^\mu_{\ \ \ \nu}.$

Второй способ: получить $\mathscr{L}$ с точки зрения $A$ путем расширения и интегрирования по частям, что дает

л "=" \frac{1}{2} (\partial_{мю} А^{мю})^{2} - \frac{1}{2} (\partial_{мю} А^{ν})^{2} .

$\mathscr{L} = \frac{1}{2}(\partial_\mu A^\mu)^2 - \frac{1}{2}(\partial_\mu A^\nu)^2.$ Дифференцируя это, мы получаем факторы

2

$2$ и дает

π_{ν}^{мю} "=" \partial_{р} А^{р} {дельта}_{ν}^{мю} - \partial^{мю} А_{ν} .

$\pi^\mu_{\ \ \ \nu} = \partial_\rho A^\rho \delta^\mu_\nu - \partial^\mu A_\nu.$

Эти два ответа разные! (По крайней мере, они дают одни и те же уравнения движения.) Я думаю, это означает, что выполнение интегрирования по частям изменило канонические импульсы.

Это то, о чем я должен беспокоиться? В частности, у меня есть еще одно упражнение, в котором я хочу показать, что один из канонических импульсов обращается в нуль — это неверно для импульсов, которые я получаю из второго метода! Кроме того, мой тензор энергии напряжения тоже изменился. Когда проблема требует «этих» канонических импульсов, запрещено ли мне интегрировать по частям?

или1426

Не могли бы вы немного расширить свой метод «расширения и интегрирования по частям»? Я изо всех сил пытаюсь понять, как вы в конечном итоге что-то интегрируете.

Кнчжоу

Мы получаем такие термины, как

\partial_{μ} A_{ν} \partial^{ν} A^{μ}

$\partial_\mu A_\nu \partial^\nu A^\mu$ . Используем интегрирование по частям, чтобы поменять местами производные, получив

\partial^{ν} A_{ν} \partial_{μ} A^{μ}

$\partial^\nu A_\nu \partial_\mu A^\mu$ . Это разрешено, потому что

L

$\mathscr{L}$ всегда находится в

d^{4} x

$d^4x$ интеграл, чтобы получить

L

$L$ для любых физических приложений.

или1426

Мне немного стыдно признаться, что я ухитрился забыть трюк с заменой производных. Благодаря вашей подсказке я выполнил расчет и получил точно такие же результаты. Я не уверен, почему это могло произойти, однако, учитывая, что канонический импульс изменился, кажется правдоподобным, что каноническое положение также изменяется за счет «перестановки» производных (поскольку эта процедура включает в себя интегрирование по

x^{μ}

$x^\mu$ ). Оба импульса калибровочно-инвариантны, поэтому единственное, о чем я могу думать, это какое-то преобразование, происходящее с

x^{μ}

$x^\mu$ . Мне было бы очень интересно получить ответ на этот вопрос!

Омри

Новый лагранжиан имеет два члена, второй из которых идентичен исходному. Первый, однако, всегда можно выбрать равным нулю (калибровка Лоренца), и я не думаю, что это относится к его исходному термину. (

\partial_{μ} A_{ν} \partial^{ν} A^{μ}

$\partial_\mu A_\nu \partial^\nu A^\mu$ )

Ответы (2)

Какие канонические импульсы являются «правильными»?

Не могли бы вы немного расширить свой метод «расширения и интегрирования по частям»? Я изо всех сил пытаюсь понять, как вы в конечном итоге что-то интегрируете.
Мы получаем такие термины, как $\partial_\mu A_\nu \partial^\nu A^\mu$ . Используем интегрирование по частям, чтобы поменять местами производные, получив $\partial^\nu A_\nu \partial_\mu A^\mu$ . Это разрешено, потому что $\mathscr{L}$ всегда находится в $d^4x$ интеграл, чтобы получить $L$ для любых физических приложений.
Мне немного стыдно признаться, что я ухитрился забыть трюк с заменой производных. Благодаря вашей подсказке я выполнил расчет и получил точно такие же результаты. Я не уверен, почему это могло произойти, однако, учитывая, что канонический импульс изменился, кажется правдоподобным, что каноническое положение также изменяется за счет «перестановки» производных (поскольку эта процедура включает в себя интегрирование по $x^\mu$ ). Оба импульса калибровочно-инвариантны, поэтому единственное, о чем я могу думать, это какое-то преобразование, происходящее с $x^\mu$ . Мне было бы очень интересно получить ответ на этот вопрос!
Новый лагранжиан имеет два члена, второй из которых идентичен исходному. Первый, однако, всегда можно выбрать равным нулю (калибровка Лоренца), и я не думаю, что это относится к его исходному термину. ( $\partial_\mu A_\nu \partial^\nu A^\mu$ )

Qмеханик · Answer 1

ОП размышляет, влияет ли на соответствующую формулировку Гамильтона, если плотность Лагранжа
$\begin{matrix} (1) & л ⟶ \tilde{л} "=" л + \sum_{мю "=" 0}^{3} д_{мю} Ф^{мю} \end{matrix}$ $\tag{1} {\cal L}~\longrightarrow~\tilde{\cal L}~:=~ {\cal L}+\sum_{\mu=0}^3d_{\mu}F^{\mu}$ модифицируется с полной дивергенцией $^1$ срок $d_{\mu}F^{\mu}$ , так что определение канонического импульса
$\begin{matrix} (2) & п_{я} "=" \frac{дельта л}{дельта в^{я}} - \frac{д}{д т} \frac{дельта л}{дельта {\dot{в}}^{я}} + \dots, л "=" \int д^{3} Икс л, \end{matrix}$ $\tag{2} p_i~:=~ \frac{\delta L}{\delta v^i}-\frac{d}{dt}\frac{\delta L}{\delta \dot{v}^i}+\ldots, \qquad L~:=~\int\! d^3x~{\cal L},$ тоже модифицируется? Это хороший вопрос.
Некоторые технические примечания:
- (i) Причина функциональных (а не частных) производных в уравнении. (2) связано с наличием пространственных направлений в теории поля (в отличие от точечной механики), ср. например, этот пост Phys.SE.
- (ii) Многоточие $\ldots$ в уравнении (2) обозначает возможную зависимость старших производных по времени в лагранжиане $L[q,v,\dot{v},\ddot{v},\dddot{v},\ldots;t]$ . (Мы неявно предполагаем, что вся зависимость $\dot{q},\ddot{q},\dddot{q},\ldots,$ был заменен на $v,\dot{v},\ddot{v},\ldots,$ в лагранжиане соответственно.) Хотя нас здесь интересует только нормальный физический случай , когда уравнения Эйлера-Лагранжа содержат не более двух производных по времени, все же могут быть более высокие производные по времени внутри члена полной дивергенции в действии. Высшие производные по времени — это не просто чисто академическое упражнение. Например, действие Эйнштейна-Гильберта (ЭГ) содержит высшие производные по времени, ср. например, этот пост Phys.SE. Мы ненадолго вернемся к высшим производным по времени в разделе 7.
- (iii) Изменение действия с членом полной дивергенции может повлиять на выбор согласованных граничных условий. Например, действие EH дополнено граничным термином Гиббонса-Хокинга-Йорка (GHY) из соображений согласованности.
ОП не спрашивает о формулировке Лагранжа и уже знает, что уравнения Эйлера-Лагранжа не меняются, ср. например, этот пост Phys.SE. Давайте с этого момента сосредоточимся на преобразовании Лежандра и формулировке Гамильтона.
Преобразование (1) состоит из двух типов преобразований:
- (i) изменение полной пространственной производной
  $\begin{matrix} (3) & л ⟶ \tilde{л} "=" л + \sum_{к "=" 1}^{3} д_{к} Ф^{к}, \end{matrix}$ $\tag{3} {\cal L}~\longrightarrow~\tilde{\cal L}~:=~ {\cal L} +\sum_{k=1}^3d_kF^k,$ что не меняет определения импульса (2); и
- (ii) изменение полной производной по времени $^1$
  $\begin{matrix} (4) & л ⟶ \tilde{л} "=" л + \frac{\partial г}{\partial т} + \int д^{3} Икс [\frac{дельта г}{дельта д^{я}} в^{я} + \frac{дельта г}{дельта в^{я}} {\dot{в}}^{я} + \dots] \approx л + \frac{д г}{д т} . \end{matrix}$ $\tag{4}L~\longrightarrow~\tilde{L}~:=~L+\frac{\partial G}{\partial t}+ \int\! d^3x\left[\frac{\delta G}{\delta q^i} v^i + \frac{\delta G}{\delta v^i} \dot{v}^i+\ldots \right] ~\approx~L+\frac{dG}{dt}.$ Для простоты в дальнейшем мы будем рассматривать только последнее преобразование (4).
Рассмотрим для простоты точечную механику. (Обобщение теории поля не вызывает затруднений.) Уравнение (2) и (4) тогда становятся
$\begin{matrix} (5) & п_{я} "=" \frac{\partial л}{\partial в^{я}} - \frac{д}{д т} \frac{\partial л}{\partial {\dot{в}}^{я}} + \dots, \end{matrix}$ $\tag{5} p_i~:=~ \frac{\partial L}{\partial v^i}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{v}^i}+\ldots,$ $\begin{matrix} (6) & л ⟶ \tilde{л} "=" л + \frac{\partial г}{\partial т} + \frac{\partial г}{\partial д^{я}} в^{я} + \frac{\partial г}{\partial в^{я}} {\dot{в}}^{я} + \dots \approx л + \frac{д г}{д т}, \end{matrix}$ $\tag{6}L~\longrightarrow~\tilde{L}~:=~L+\frac{\partial G}{\partial t}+ \frac{\partial G}{\partial q^i} v^i + \frac{\partial G}{\partial v^i} \dot{v}^i+\ldots ~\approx~L+\frac{dG}{dt},$ соответственно. Канонический импульс (5) изменяется как $\begin{matrix} (7) & п_{я} "=" п_{я} + \frac{\partial г}{\partial д^{я}} + \frac{\partial^{2} г}{\partial в^{я} \partial д^{Дж}} (в^{Дж} - {\dot{д}}^{Дж}) \approx п_{я} + \frac{\partial г}{\partial д^{я}} . \end{matrix}$ $\tag{7} P_i~=~p_i+\frac{\partial G}{\partial q^i} +\frac{\partial^2 G}{\partial v^i\partial q^j} (v^j-\dot{q}^j) ~\approx~p_i+\frac{\partial G}{\partial q^i} .$ [В $\approx$ символ означает равенство по модулю уравнений движения или $v^i\approx\dot{q}^i$ .]
Предположим сначала, что преобразование Лежандра $v\leftrightarrow p$ регулярно. Если $G$ не зависит от полей скоростей $v^i$ и высшие производные по времени в преобразовании (6), это Упражнение 8.2 (Упражнение 8.19) в Goldstein, Classical Mechanics, 3-е издание (2-е издание) соответственно. Можно использовать каноническое преобразование типа 2
$\begin{matrix} (8) & п_{я} {\dot{д}}^{я} - ЧАС "=" - {\dot{п}}_{я} {Вопрос}^{я} - К + \frac{д Ф_{2}}{д т}, \end{matrix}$ $\tag{8}p_i\dot{q}^i-H ~=~ -\dot{P}_iQ^i-K + \frac{dF_2}{dt},$ $\begin{matrix} (9) & Ф_{2} "=" п_{я} д^{я} - г, \end{matrix}$ $\tag{9} \qquad F_2~:=~P_i q^i-G,$ где $\begin{matrix} (10) & {Вопрос}^{я} "=" д^{я}, п_{я} "=" п_{я} + \frac{\partial г}{\partial д^{я}}, К "=" ЧАС - \frac{\partial г}{\partial т} . \end{matrix}$ $\tag{10} Q^i~:=~q^i, \qquad P_i~:=~p_i+\frac{\partial G}{\partial q^i}, \qquad K~:=~H-\frac{\partial G}{\partial t}.$ Принцип действия Гамильтона, основанный либо на лев. или правая сторона. экв. (8) имеет уравнения Гамильтона $\begin{matrix} (11) & {\dot{д}}^{я} \approx \frac{\partial ЧАС}{\partial п_{я}}, - {\dot{п}}_{я} \approx \frac{\partial ЧАС}{\partial д^{я}}, \end{matrix}$ $\tag{11} \dot{q}^i~\approx~ \frac{\partial H}{\partial p_i}, \qquad -\dot{p}_i~\approx~ \frac{\partial H}{\partial q^i},$ и уравнения Камильтона $\begin{matrix} (12) & {\dot{Вопрос}}^{я} \approx \frac{\partial К}{\partial п_{я}}, - {\dot{п}}_{я} \approx \frac{\partial К}{\partial {Вопрос}^{я}}, \end{matrix}$ $\tag{12} \dot{Q}^i~\approx~ \frac{\partial K}{\partial P_i}, \qquad -\dot{P}_i~\approx~ \frac{\partial K}{\partial Q^i},$ как стационарная точка соответственно. Отсюда ур. (11) и (12) эквивалентны относительно преобразования (6).
Если $G$ зависит от полей скоростей $v^i$ , внутри полного члена производной по времени появляются высшие производные по времени $\frac{dG}{dt}$ , ср. экв. (6). Тогда возникают дополнительные сложности (при записи доказательства эквивалентности). Например, соотношение для следующего импульса Остроградского
$\begin{matrix} (13) & п_{я}^{(2)} "=" \frac{\partial \tilde{л}}{\partial {\dot{в}}^{я}} + \dots "=" \frac{\partial г}{\partial в^{я}} + \dots, \end{matrix}$ $\tag{13} P^{(2)}_i~:=~ \frac{\partial \tilde{L}}{\partial \dot{v}^i}+\ldots~=~\frac{\partial G}{\partial v^i}+\ldots,$ обычно не может быть инвертирован, чтобы устранить ускорение $\dot{v}^j$ . Другими словами, преобразование Лежандра сингулярно.
В случае сингулярных преобразований Лежандра менее ясно, но широко распространено мнение, что модифицированная гамильтонова формулировка (полученная в результате анализа ограничений Дирака-Бергмана) по-прежнему эквивалентна.
Случай OP (E&M) имеет ограничения (закон Гаусса), но в этом случае легко проверить эквивалентность явно.

--

$^1$ Обратите внимание на эту тонкость.

Замечание 8 может быть обеспечено некоторыми предположениями о регулярности ограничений, верно?
@ACuriousMind: Спасибо за исправления. Предположения о регулярности предполагаются неявно, но даже с ними кажется запутанным записывать полное доказательство.

Тимей · Answer 2

Два разных лагранжиана дают разные канонические импульсы.

Если два разных лагранжиана отличаются поверхностным членом, то они отличаются полной расходимостью. Таким образом, они производят одни и те же действия, следовательно, имеют одни и те же уравнения движения.

Когда вы выполняете интегрирование по частям, вы получаете поверхностный член (разницу между ними). Представьте себе вычитание двух функций (лагранжианы - это функции независимых переменных, а не полей с фиксированными значениями), которые вы получаете от интегрирования по частям. Они отличаются поверхностным членом. Теперь представьте их как напряжение, а затем найдите электрическое поле, внутри которого нет заряда. Это векторное поле без дивергенции, поток которого на поверхности является тем, что вы хотели.

Или просто возьмите два лагранжиана и вычтите их. В общем, вы получаете что-то, что является лишь поверхностным термином, так же как и расхождение чего-то.

Что касается правильного, канонический импульс просто канонический. Это, например, не источник в уравнении физического поля, это просто то, чем оно является, что меньше, чем, возможно, люди хотят сказать. Вы не можете измерить канонический импульс.

Это просто канонический импульс, связанный с конкретным лагранжианом. А отличающиеся полной расходимостью лагранжианы дают одни и те же уравнения движения, но разные канонические импульсы.

Какие канонические импульсы являются «правильными»?

Кнчжоу

или1426

Кнчжоу

или1426

Омри

Ответы (2)

Qмеханик

любопытный разум

Qмеханик

Тимей

Почему мы используем уравнение Эйлера-Лагранжа для квантовых полей?

Когда числовое значение лагранжиана оценивается на оболочке как полный дифференциал?

Канонический формализм в координатах светового конуса

Построение лагранжиана из гамильтониана для майорановских фермионов

Как лагранжиан с дельта-потенциалом преобразуется в гамильтониан?

Универсальность принципа наименьшего действия, почему он работает? [дубликат]

Чем полезен принцип Мопертюи?

Гамильтоновы системы без соответствующей лагранжевой системы

Вопрос о выводе лагранжиана 1-го порядка в формализме Фаддеева-Жаккова

Уравнение Эйлера-Лагранжа в специальной теории относительности