Помогите с правилами разрезания Каткоски для фермионов

Правильно, что вы заменяете только знаменатели$1/(p^2-m^2+i\epsilon)$к$-2\pi i \delta(p^2-m^2)$в пропагаторах для вычисления разрывов. Сначала нужно переписать фермионные пропагаторы, чтобы они содержали только что упомянутый знаменатель. Вы правы в том, что правила Каткоски не затрагивают числитель.

В некотором формальном смысле вы также можете записать разрыв фермионных пропагаторов как$2\pi i \delta(p_\mu \gamma^\mu -m)$но всякий раз, когда возникает путаница, это просто означает то же самое, что указано в процедуре в предыдущем абзаце.

Действительно, фермионные пропагаторы имеют только «простой полюс» вблизи массовой оболочки: это связано с тем фактом, что пропагаторы являются «обратными дифференциальными операторами», а уравнения для фермионов имеют первый, а не второй порядок, как для бозоны. Эта разная «степень расходимости» вблизи массовой оболочки отражается правилами Каткоски.

Однако, просто чтобы быть уверенным и избежать потенциального недоразумения, которое может быть неявно включено в ваш вопрос, числители на самом деле не «аннулируют» дельта-функцию. Функция$x\,\delta(x)$исчезает, потому что$x=0$в единственной точке, где дельта-функция имеет носитель:$f(x)\delta(x) = f(0)\delta(x)$. Однако,$x\,\delta(x)$это не то, что мы видим в правилах фермионного сечения.

Вместо$x$, числитель$p_\mu \gamma^\mu - m$или что-то вроде того. Этот числитель «формально обращается в нуль», когда он действует на решение уравнения Дирака. Однако в правилах разрезания вы вычисляете всю матрицу, а не только ее действие на конкретный спинор. И матрица не обращается в нуль на массовой оболочке: только два из четырех ее собственных значений равны нулю в комбинации. Таким образом, вы все равно получите ненулевой результат.