Понимание технических особенностей квантования упругих волн

Question

Понимание технических особенностей квантования упругих волн

Аюму Касугано

Я читаю книгу Киттеля о твердом теле, и у меня есть ряд «простых» вопросов о фононах. Он начинает с гамильтониана

ЧАС "=" \sum_{с "=" 1}^{Н} [\frac{1}{2 М} п_{с}^{2} + \frac{1}{2} С (д_{с + 1} - д_{с})^{2}]

$H=\sum_{s=1}^N\left[\dfrac{1}{2M}p_s^2+\dfrac{1}{2}C(q_{s+1}-q_s)^2 \right]$ и пытается разделить это, вводя координаты:

{Вопрос}_{к} "=" \frac{1}{\sqrt{Н}} \sum_{с} д_{с} е^{- Дж к с а}

$Q_k=\dfrac{1}{\sqrt{N}}\sum_{s}q_se^{-jksa}$

Π_{к} "=" \frac{1}{\sqrt{Н}} \sum_{с} п_{с} е^{Дж к с а}

$\Pi_k=\dfrac{1}{\sqrt{N}}\sum_{s}p_se^{jksa}$ Поскольку Киттель наложил периодические граничные условия (

q_{s + N} = q_{s}

$q_{s+N}=q_s$ ), то волновой вектор должен иметь вид

k = 2 π n / N a

$k=2\pi n/Na$ где

n = 0, 1, 2, . . ., N / 2

$n=0,1,2,...,N/2$ .

Моя первая проблема заключается в том, как Киттель утверждал:

\sum_{р} е^{- Дж (к - к^{'}) р а} "=" \sum_{р} е^{- 2 π Дж (н - н^{'}) р / Н} "=" Н дельта (к, к^{'})

$\sum_re^{-j(k-k')ra}=\sum_re^{-2\pi j(n-n')r/N}=N\delta(k,k')$ Киттель говорит, что это «стандартный результат», но я не понимаю, почему эта сумма верна?

Далее Киттель позже утверждает:

я ℏ \frac{\partial}{\partial т} {Вопрос}_{к} "=" [{Вопрос}_{к}, ЧАС]

$i\hbar\dfrac{\partial}{\partial t}Q_k=[Q_k,H]$ но я думал, что "правильное" отношение было:

я ℏ \frac{\partial}{\partial т} ⟨ {Вопрос}_{к} ⟩ "=" ⟨ [{Вопрос}_{к}, ЧАС] ⟩ + я ℏ ⟨ \frac{\partial {Вопрос}_{к}}{\partial т} ⟩

$i\hbar\dfrac{\partial}{\partial t}\langle Q_k\rangle=\langle[Q_k,H]\rangle+i\hbar\langle\dfrac{\partial Q_k}{\partial t}\rangle$ Почему мы не используем средние значения и игнорируем второй член?

Мой последний вопрос менее технический, но больше о том, почему. В конце концов Киттель приходит к собственным значениям энергии, утверждая, что, поскольку мы можем показать

\ddot{{Вопрос}_{к}} + ж_{к}^{2} {Вопрос}_{к} "=" 0

$\ddot{Q_k}+w_k^2Q_k=0$ тогда у нас есть гармонический осциллятор. Что-то в этом аргументе беспокоит меня, так как я вижу

Q_{k}

$Q_k$ как ничего реального: это просто какое-то преобразование координат

q_{k}

$q_k$ , что нас и интересует. Как мне сделать этот логический скачок?

Джахан Клас

Я думаю, что большинство ваших вопросов о

Q_{k}

$Q_k$ можно ответить, погуглив «картину Гейзенберга» квантовой механики. Киттель НЕ использует обычную квантовую механику, основанную на уравнении Шредингера, где волновая функция эволюционирует во времени. Он использует представление Гейзенберга, где вместо этого операторы эволюционируют во времени.

Ответы (1)

Понимание технических особенностей квантования упругих волн

Я думаю, что большинство ваших вопросов о $Q_k$ можно ответить, погуглив «картину Гейзенберга» квантовой механики. Киттель НЕ использует обычную квантовую механику, основанную на уравнении Шредингера, где волновая функция эволюционирует во времени. Он использует представление Гейзенберга, где вместо этого операторы эволюционируют во времени.

Гул · Answer 1

Что касается вашего первого пункта, это уравнение представляет собой отношение ортогональности для комплексных экспонент как основу для периодических функций на дискретном наборе. (Это эквивалентно основе синуса и косинуса, используемой в большем количестве рядов Фурье, потому что синусы и косинусы представляют собой простые линейные комбинации сложных экспонент.) Доказательства отношений ортогональности, которые включают дискретные суммы, сложны и обычно воспринимаются физиками как должное. Однако они часто аналогичны отношениям ортогональности с интегралами вместо сумм. Например, с помощью функций $e^{ikx}$ в качестве основы для произвольных функций, интегрируемых с квадратом на прямой, отношение ортогональности имеет вид

\int_{- \infty}^{+ \infty} г Икс е^{- я (к - к^{'}) Икс} "=" 2 π дельта (к, к^{'})

$\int_{-\infty}^{+\infty}dx\,e^{-i(k-k')x}=2\pi\delta(k,k')$ что можно доказать из формулы обращения преобразования Фурье. В самом деле, принимая предел как

a \to 0

$a\rightarrow0$ но

N a \to \infty

$Na\rightarrow\infty$ , ваша формула сводится к интегральному результату.

То, что вы не знакомы с этим отношением, а также с вашим третьим запросом, предполагает, что вы, возможно, не знакомы с разложениями в ряды Фурье. (Ваше непоследовательное использование " $j"$ представление воображаемой единицы также предполагает, что вы, возможно, имеете опыт работы в области электротехники.) Существует много ресурсов по этой теме, как в печати, так и в Интернете — например, этот краткий набор заметок может послужить вам полезным введением.

По вашему второму вопросу уравнение

\frac{г О}{г т} "=" \frac{1}{я ℏ} [О, ЧАС]

$\frac{d{\cal O}}{dt}=\frac{1}{i\hbar}[{\cal O},H]$ есть уравнение движения Гейзенберга для оператора

O

${\cal O}$ (без явной зависимости от времени). Именно так временная зависимость была впервые выражена в квантовой механике , поскольку эта область была разработана Гейзенбергом. Теперь чаще используется формулировка теории Шредингера , в которой состояния теории зависят от времени, а операторы обычно этого не делают. В картине Шредингера уравнение, которое вы привели со значениями ожидания, выполняется (результат, известный как теорема Эренфеста ), но в картине Гейзенберга уравнение выполняется даже без учета ожиданий.

В то время как схема Шредингера обычно более полезна, картина Гейзенберга может быть более удобной, когда основное внимание уделяется операторам. В данном случае Киттель использует версию Гейзенберга, потому что он разрабатывает операторную алгебру для фононных мод. Фононные колебания ведут себя как простые гармонические осцилляторы, которые легче всего изучать в квантовой механике с помощью операторов рождения и уничтожения. Что касается пренебрежения последним членом в операторном уравнении движения, включающем $\partial{\cal Q_{k}}/\partial t$ , Киттель его уже просто уронил, т.к. $Q_{k}$ квадратурный оператор, как вы его записали, не зависит явно от переменной $t$ .

Что касается вашего третьего вопроса, переменная $Q_{k}$ определенно представляет что-то реальное. Он представляет собой амплитуду колебаний фотонов с волновым вектором $k$ с заданной фазой. Сопряженная импульсная переменная $\Pi_{k}$ пропорциональна амплитуде колебаний, $90^{\circ}$ не в фазе.

Так что если $\cal O$ не имеет явной зависимости от времени, то почему мы игнорируем $\partial\cal O/\partial t$ термин, но не $d\cal O/ dt$ ?
@AyumuKasugano Частная производная $\partial{\cal O}/\partial t$ означает производную, возникающую из явной временной зависимости. См., например, здесь: physicsforums.com/threads/…

Понимание технических особенностей квантования упругих волн

Аюму Касугано

Джахан Клас

Ответы (1)

Гул

Аюму Касугано

Гул

Почему квантование волнового вектора фонона не связано с квантовой механикой?

Зачем нам нужно квантование для колебаний решетки?

Почему фононы являются бозонами, если они не могут занимать одно и то же собственное состояние?

Приведенный kk\mathbf{k}-вектор в первой зоне Бриллюэна

Фонон как преобразование Фурье

Проблема происхождения фононов в кристалле

Понимание того, что такое распределение Бозе-Эйнштейна

Связь между скоростью туннелирования и проводимостью

Концептуальный вопрос о трактовке взаимодействия функцией Грина

Вопрос о квантовании колебаний решетки (фононов)