Понимание условий перенормировки в ϕ4−ϕ4−\phi^4-теории

Логика в том, что нам нужен точный пропагатор

$$\Delta(p^2) = \frac{1}{p^2 - m^2 - M(p^2)}$$

вести себя как свободный распространитель$1/(p^2 - m^2)$возле полюса$p^2 = m^2$. Это связано с тем, что расположение полюса определяет физическую массу, а остаток входит в формулу ЛСЗ, см. формулу 10.14.

Так:

1. Мы хотим$\Delta(p^2)$иметь шест на$m^2$, сюда$m$является фактической, физической массой нашей частицы. Хорошо,$\Delta(m^2) = 1/M(m^2)$, поэтому нам нужно$M(m^2) = 0$.

2. Мы хотим, чтобы остаток был равен 1. Это означает, что около$p^2 = m^2$, мы должны иметь$\Delta(p^2) = 1/(p^2 - m^2) + \text{non-singular terms}$; остаток - это$1$сверху дроби. Мы можем вычислить его, разложив Тейлора$M$вокруг$m^2$и используя наш приведенный выше результат или используя то, что остаток$\lim_{p^2 \to m^2} (p^2 - m^2)\Delta(p^2)$; в любом случае, мы должны иметь$M'(m^2) = 0$.

Что касается вашего второго вопроса, я думаю, что Пескин просто использует другую запись, то есть все то, что мы только что сказали. Если я не ошибаюсь, это просто другой способ сказать то же самое.

На первый вопрос ответил Хавьер. По второму вопросу вы можете обратиться к разделу 11.5 Пескина и Шредера . Я думаю,$\Gamma$в вашем вопросе эффективное действие и$\Gamma^{(n)}$является аббревиатурой

$$\frac{\delta^n \Gamma[\phi_{\rm cl}]}{\delta \phi_{\rm cl}(x_1) \cdots \delta \phi_{\rm cl}(x_n)}.$$ Уравнение 11.90 Пескина и Шредера говорит: $$\Gamma^{(2)}(x,y) = iD^{-1}(x,y)$$ где $D(x,y)$является точным распространителем $\phi^4$теория. В импульсном пространстве имеем $$\Gamma^{(2)}(p^2) = p^2-m^2-M^2(p^2)$$ Так, $M^2(p^2=m^2) = 0$такой же как $\Gamma^{(2)}(p^2=m^2) = 0$, нет $\Gamma^{(2)}(0) = m^2$. Уравнение 11.96 Пескина и Шредера говорит: $$\Gamma^{(4)}(x_1,x_2,x_3,x_4) = -i \langle \phi(x_1)\phi(x_2)\phi(x_3)\phi(x_4)\rangle_{\rm 1PI}$$ В импульсном пространстве, $\langle \phi(x_1)\phi(x_2)\phi(x_3)\phi(x_4)\rangle_{\rm 1PI}$это просто ампутированная диаграмма Фейнмана с четырьмя внешними ножками. Таким образом, условие перенормировки ампутированной диаграммы Фейнмана с четырьмя внешними ногами равно $-i\lambda$когда $s=4m^2,t=u=0$то же самое, что и условие $\Gamma^{(4)}(p_1^2,p_2^2,p_3^2,p_4^2 = m^2) = -\lambda$. Что касается условия $$\left. \frac{d M^2(p^2)}{d p^2} \right|_{p^2=m^2} = 0.$$ Это то же самое, что $$\left. \frac{d \Gamma^{(2)}(p^2)}{d p^2} \right|_{p^2=m^2} = 1.$$

Что касается вашего третьего вопроса, я думаю, вы не совсем понимаете ответ Хавьера. Если вы не знакомы со сложным анализом и теоремой об остатках, я могу дать вам простое, но грубое объяснение.

$$\frac{i}{p^2-m^2-M^2(p^2)} = \frac{i}{p^2-m^2+M^2(m^2) + \left.\frac{d M^2(p^2)}{d p^2} \right|_{p^2=m^2}(p^2-m^2)+\cdots}\\ = \frac{i}{\left( 1 + \left.\frac{d M^2(p^2)}{d p^2} \right|_{p^2=m^2}\right)(p^2-m^2)+\cdots}\\ = \frac{i}{p^2-m^2} + \mbox{ regular terms}$$ В сравнении мы можем получить $$\left.\frac{d M^2(p^2)}{d p^2} \right|_{p^2=m^2} = 0$$