Почему контрчлены в перенормированной ϕ4ϕ4\phi^4-теории со степенью два в полях дают вершины, а не пропагаторы?

Учитывать$\phi^4$теория:

$$\mathcal L=\frac12 Z_1(\partial\phi)^2-\frac12 Z_m m^2\phi^2-\frac{1}{4!}\lambda_0\phi^4$$

Существует два подхода к теории возмущений:

Первый

Пропагатор задается

$$\Delta=\frac{1}{Z_1p^2-Z_m m^2}$$ и есть один тип вершин со значением $$-i\lambda_0$$

Второй

Пропагатор задается

$$\Delta=\frac{1}{p^2-m^2}$$ и есть два типа вершин со значением $$-i((Z_1-1)p^2-(Z_m-1)m^2),\qquad -i\lambda_0$$

Эти два подхода полностью эквивалентны и дают одно и то же выражение для данного процесса рассеяния.

Обратите внимание, что коэффициенты$Z_1,Z_m$зависит от параметра расширения$\lambda$. Это означает, что первый подход более громоздкий, так как, вообще говоря, неясно, какие диаграммы дают вклад в данный порядок теории возмущений, поскольку и вершины, и пропагаторы содержат степени$\lambda$. С другой стороны, второй подход приводит к большему количеству диаграмм (поскольку на одну вершину больше), но он более удобен (поскольку пропагаторы не зависят от$\lambda$).

Я хочу добавить к ответу AccidentalFourierTransform :

Предполагая$\delta$малы, то мы можем разложить перенормированный член по степеням$(\delta_2p^2-\delta_m)$:

$$\frac{i}{Z_2p^2-Z_mm^2}=\frac{i}{p^2-m^2 }\left(1+\frac{\delta_2p^2-\delta_m}{p^2-m^2}\right)^{-1}=\frac{i}{p^2-m^2 }\left(1-\frac{\delta_2p^2-\delta_m}{p^2-m^2}+\dots\right)=\frac{i}{p^2-m^2 }+\frac{i}{p^2-m^2 }\left(i\delta_2p^2-i\delta_m\right)\frac{i}{p^2-m^2 }+\dots$$

Что представляет собой сумму всех диаграмм, состоящих из исходного термина + контртерма, поэтому, определяя$\frac{i}{p^2-m^2}$как член импульса, мы идентифицируем$i(\delta_2p^2-\delta_m)$как контртермин импульса.

Это происходит от лечения

$$\frac{1}{2}(\partial_\mu\phi_r)^2-\frac{1}{2}m^2\phi_r^2$$ как свободный лагранжиан, и рассматривая $$-\frac{\lambda}{4!}\phi_r^4+\frac{1}{2}\delta_Z(\partial_\mu\phi_r)^2-\frac{1}{2}\delta_m\phi^2_r-\frac{\delta_\lambda}{4!}\phi_r^4$$ как возмущение. Затем пропагаторы определяются как упорядоченные по времени двухточечные корреляционные функции «свободных» теорий поля, как и раньше. В этом случае пропагатор скалярного поля равен $$D_F(x-y)\equiv \langle0|T\{\phi(x)\phi(y)\}|0\rangle=\int\frac{d^4p}{(2\pi)^4}\frac{i}{p^2-m^2+i\epsilon}e^{-ip\cdot(x-y)}.$$ Единственная разница в том, что мы изменили то, что мы рассматриваем как «свободную» теорию. Это в основном просто изменение центральной точки расширения возмущения.

Вершины получаются из членов возмущения. Например, до низшего порядка (одна вершина) расширяем

$$\exp\left[i\int\mathcal{L}\right]\approx\exp\left[i\int\mathcal{L}_0\right]\Big[1+i\int dx^4 \Big(-\frac{\lambda}{4!}\phi_r^4$$ $$+\frac{1}{2}\delta_Z(\partial_\mu\phi_r)^2-\frac{1}{2}\delta_m\phi^2_r-\frac{\delta_\lambda}{4!}\phi_r^4\Big) + ...\Big].$$ Условия$-(\lambda/4!)\phi_r^4$и$-(\delta_\lambda/4!)\phi_r^4$оба дают вершины, соединяющие четыре пропагатора, как в нормальной теории возмущений. Термин$(\delta_Z/2)(\partial_u\phi_r)^2-(\delta_m/2)\phi_r^2$дает вершину, соединяющую два пропагатора. Производные члены немного усложняют представление о том, как будет выглядеть вершина, но, взглянув на формулу для$D_F(x-y)$выше мы видим, что$\partial_\mu$просто уменьшит дополнительный фактор$p_\mu$от связанных пропагаторов (оба пропагатора будут вынуждены иметь одинаковый импульс из-за сохранения четырех импульсов).