Построение мезонного октета и синглета

1. Группа «Ложь » $G$за мезонным октетом находится$SU(3)_{\rm Flavor}$Группа Ли по трем самым легким ароматам творога$u$,$d$, и$s$. Точнее, принципиальная$SU(3)$представление

   $$V~=~\text{Fund} ~=~{\bf 3}$$ представляет собой линейный отрезок$u$,$d$, и$s$кварки. Три комплексных коэффициента собираются в$3\times 1$вектор столбца$v\in V$.

2. Как$G=SU(3)_{\rm Flavor}$воздействовать на$V$? Он действует слева путем умножения$v\in V$с$3\times3$специальная унитарная групповая матрица$g\in G$, что приводит к новому вектору-столбцу$v'=gv\in V$. Сходным образом,$G$действует на комплексно сопряженное представление$\bar{V}$как$\bar{v}'=\bar{g}\,\bar{v}$. В частности, если мы напишем$\bar{v}$как$1\times 3$вектор-строка$v^{\dagger}$, группа действует как$v^{\dagger \prime}=v^{\dagger}g^{\dagger}=v^{\dagger}g^{-1}$.

3. Теория представлений групп Ли объясняет, как мезонный нонет распадается на неповторы,

   $$\begin{align} {\bf 3} \otimes \overline{\bf 3}~=~&V \otimes \bar{V}\cr ~=~&\text{Fund} \otimes \overline{\text{Fund}}\cr ~\cong~& \text{Adj}\oplus \text{Sing}\cr ~=~& {\bf 8}\oplus {\bf 1}. \end{align}$$

4. Мы можем идентифицировать

   $$\begin{align}V \otimes \bar{V}~\cong~&V \otimes V^\dagger\cr ~\cong~&{\rm Mat}_{3 \times 3}(\mathbb{C}).\end{align}\tag{*}$$ Заметить, что$G$действует на оба пространства$V \otimes V^\dagger$и${\rm Mat}_{3 \times 3}(\mathbb{C})$преобразованиями подобия .

5. The $SU(3)$синглет - эта первичный мезон

   $$\eta'~=~\frac{u\otimes \bar{u}+ d\otimes \bar{d}+ s\otimes \bar{s}}{\sqrt{3}}.$$ Под идентификацией (*)$\eta'$соответствует$3 \times 3$матрица, пропорциональная${\bf1}_{3 \times 3}$единичная матрица. Откуда мы знаем, что это уникальный ароматический синглет? С одной стороны, синглет характеризуется инвариантностью к групповому действию, т.е. преобразованиям подобия. С другой стороны, мы знаем из леммы Шура , что единственные матрицы, которые инвариантны относительно всех преобразований подобия, пропорциональны единичной матрице. Эквивалентно, в терминах соответствующей алгебры Ли $su(3)$, единственные матрицы, которые коммутируют со всеми генераторами алгебры Ли, пропорциональны единичной матрице. Это последнее условие можно рассматривать как ограничение, которое запрашивает OP.

6. Наконец, отметим, что$SU(3)_{\rm Flavor}$симметрия является лишь приблизительной симметрией в стандартной модели, что видно из различных масс мезонов. $SU(3)_{\rm Flavor}$симметрия может быть разложена с помощью правил ветвления в (сильном)$SU(2)$ изоспиновой симметрии, см., например, главу 10 конспектов лекций 'т Хофта . Файл в формате pdf доступен здесь .

Ограничение на синглетное состояние$\eta' = \frac{1}{\sqrt{3}}(u\bar u+d\bar d+s\bar s)$заключается в том, что он не имеет запаха, так же как ограничение на синглетное состояние для SU (2) состоит в том, что оно не имеет углового момента.

Разлагать$3\times 3^* = 8 + 1$вам сначала нужно знать, что такое иррепы. Вы можете создавать их с помощью операторов повышения и понижения, как это делается в SU(2).

Если вы знакомы с графическим способом построения и декомпозиции повторений для SU(2), вы обнаружите, что существует аналогичный метод для SU(3). По сути, повторения выглядят как треугольники и шестиугольники, и есть способ умножить их графически. (Конечно, вы можете разложить их и с помощью операторов повышения и понижения, но для SU(3) это покажется вам утомительным.) Этот метод позволяет вам вычислять с картинками и очень быстро, что, например,$3\times 3^* = 8 + 1$и$3^*\times 3^* = 6^* + 3$. Конечно, в какой-то момент вы, вероятно, захотите изучить таблицу Юнга.

Я не буду писать дополнительные подробности и рисовать картинки, а вместо этого предоставлю вам ссылку, которая прояснит все это на том уровне, который вы ищете. См. главу 4, раздел 2.

Та-Пей Ченг и Линг-Фонг Ли. Калибровочная теория физики элементарных частиц

Это не произвольно, а результат теории представлений$SU(3)$. Цвета кварков образуют векторное пространство$C^3$, а кварковая антикварковая пара дает тензорное произведение$C^3 \otimes (C^3)^* \sim C^{3\times 3}$, следовательно, представлен матрицами 3 на 3, на которых$SU(3)$действует сопряжением. Это 9-мерное векторное пространство, которое как пространство представления$SU(3)$, является приводимым.

Действительно, пространство матриц 3 на 3 представляет собой прямую сумму 1-мерного пространства кратных единицы, на которой$SU(3)$действует тривиально, а 8-мерное пространство матриц нулевого следа, на котором$SU(3)$действует (поскольку сопряжение сохраняет бесследность). Нетрудно показать, что это представление на самом деле неприводимо.

Таким образом, разложение$3 \otimes 3^* = 1 + 8$в синглет и октет не произвольно, а определяется свойствами$SU(3)$.

Это полный аналог разложения$2 \otimes 2^* = 1 + 3$для$SU(2)$(т.е. спин).